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调和级数发散性的证明方法

姓名：范璐婵

摘要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。

关键词：调和级数发散性部分和收敛

Proofsofthedivergencyofharmonicseries

Name:FanLuchan

Director:WangYingqian

Abstract:Eighteenmethodstoprovethedivergencyofharmonicseriesarepresentedinthispaper.Someareknownandsomearenew.

Keywords:harmonicseries;divergency;partialsum;convergency

引言

调和级数的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（1323——1382）在极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单：

注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项，而且后面级数的括号中的数值和都为，这样的有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。

后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收敛级数为基础的。以下是他的证明。

证明：，，，

所以.

则.

接着设，

则；

；

；

；

；

；

.

即.

没有一个有限数会大于等于自己，即是无穷大，所以调和级数发散.

由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。伯努利作出这一论证之后的150年，才有真正的级数理论出现。他用简明的来证明级数的无穷性，这是证明量的无穷性的一个最独特的方法。

而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级数的发散性。例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列敛散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等。在级数敛散性的讨论中，调和级数的应用很广泛。了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和研究是有益的，特别在其证明方面能起到举一反三，融会贯通的作用。

本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。

1证法一：利用反证法.

所以，

从而有，

，

，

上述n个不等式两边相加得

，

于是.

即有下界.其次应用不等式，有

.

故有是一个单调下降的数列，因此存在，用C表示，即

.

也就是.

显然.

故调和级数发散.

6证法六：应用级数（其中）与级数

有相同的收敛性.

取，.

而级数发散.

故调和级数发散.

7证法七：利用广义积分法.

对于部分和数列：

，

有，

而，，

因此，

故调和级数发散.

8证法八：证明由调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数发散.

调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数是

在此级数中，分母从10到100的项共有10项，其和大于；

分母从110到1000的项共有90项，其和大于；

分母从1010到10000的项共有900项，其和大于；

分母从到的项共有项，其和大于；

从而.

显然发散，于是调和级数发散.

9证法九：利用命题“设正项级数收敛，且，，则有”.

以下是这个命题的证明：

因正项级数收敛，则对于任意给定的，总存在自然数，

当时，下式成立

.

由已知，

而，

得，，

故有.