2024-2025学年上海市高二上学期12月月考数学检测试卷（附解析）.docx

2024-2025学年上海市高二上学期12月月考数学检测试卷

一、填空题（本大题共12小题）

1．用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如图，若在直观图中，则.

??

2．若球、表面积之比，则它们的半径之比.

3．过点且倾斜角为的直线方程是．

4．已知中，，，，则绕旋转一周形成的几何体的体积为.

5．已知在平面上，平面外一点满足，，，则点在平面上的投影点是的.（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一个）

6．函数，的值域是．

7．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是．

8．若函数的图象在点处的切线方程是，则.

9．设，，若函数，的最大值为，但最小值不为，则的取值范围是．

10．已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数．

11．从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是.

12．一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为.

二、单选题（本大题共3小题）

13．直线在轴上的截距是（???）

A． B．1 C． D．2

14．已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则“”是“∥”的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

15．将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（???）

A． B． C． D．

三、未知（本大题共1小题）

16．如图，在棱长为10的正方体中，M为棱CD的中点，点P在侧面上，且到与的距离均为3，则过点P且与垂直的平面截正方体所得截面的形状是（????）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

四、解答题（本大题共5小题）

17．在平面直角坐标系中，的顶点，B2,1，，关于原点对称.

(1)求边上的高所在直线的点法式方程；

(2)已知过点的直线平分的面积，求直线的一般式方程.

18．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.

(1)设，，求这个几何体的表面积；

(2)设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且.求异面直线AG与BP所成角的大小.

19．已知，为常数．

(1)若为偶函数，求的值；

(2)设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围．

20．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点．

(1)求点到平面的距离；

(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

(3)设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围．

21．若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”.

(1)若函数存在“相关点”，求的值；

(2)若函数（常数）存在“1相关点”，求的值：

(3)设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.

答案

1．【正确答案】2

【详解】如图，在直观图中，则.

故2

2．【正确答案】

【详解】因为球、表面积之比，

所以，则.

故答案为.

3．【正确答案】

【详解】由已知直线倾斜角为，

所以直线斜率不存在，

则直线方程为，

故答案为.

4．【正确答案】

【详解】因为，，，由勾股定理可得，

绕旋转一周形成的几何体为圆锥，且底面圆的半径为，高为，

所以该圆锥的体积为.

故

5．【正确答案】垂心

【详解】连接，由，，平面，

得平面，而平面，则，又平面，

则，又平面，因此平面，

而平面，则，同理，

所以点是的垂心.

故垂心

6．【正确答案】

【详解】由函数，在上单调递减，

所以，

故答案为.

7．【正确答案】

【详解】因为直线的斜率，直线的斜率，

如图：所以要使直线与线段有公共点，的取值范围为．

故

8．【正确答案】3

【详解】根据题意，函数的图象在点处的切线方程是，即，且，所以.

故3

9．【正确答案】

【详解】设，则，

由已知，则，

又最大值为，但最小值不为，

所以，解得，

故答案为.

10．【正确答案】

【详解】由题知，

即

又，，，四点共面，

所以，解得.

故答案为.

11．【正确答案】

【详解】利用异面直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类：

两条棱所在直线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0；

面对角线与棱所在直线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0；

两条面对角线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0；

体对角线与棱所在直线异