2025年沪科版七年级数学寒假预习 第08讲 完全平方公式与平方差公式.docxVIP

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第08讲完全平方公式与平方差公式

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算；

知识点1平方差公式

1.平方差公式

即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

注意：(1)公式的左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数。

(2)公式的右边是两项的平方差，即相同的项的平方减去相反项的平方。

(3)公式中的与可以是具体的数字也可以是含有字母的代数式。

2.平方差公式的常见变形

(1)位置变化：；

(2)符号变化：；

(3)系数变化：；

(4)指数变化：；

(5)增项变化：；

(6)连用公式变化：。

(7)逆用公式变化：。

知识点2完全平方公式

1.完全平方公式

；；即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的两倍。

注意：(1)公式特点：左边是两数的和(或差)的平方.右边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍。

(2)常见变形：

①，；

②；

③。

2.添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

注意：(1)无论怎样添括号，原式的值都不能改变。

(2)添括号与去括号是互逆的，符号变化也是一效的，可以用去括号法则检查添括号是否正确。

考点01：运用平方差公式进行运算

例题1.计算：．

【变式1-1】计算：．

【变式1-2】计算：

【变式1-3】计算：（结果保留幂的形式）．

考点02：平方差公式与几何图形

例题2.（1）将两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（大正方形）此时，阴影部分的面积可以表示为：__________；

（2）将同样的两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（长方形）此时，新拼成的长方形的长是______；宽是______．则新拼成的长方形的面积可以表示为：________．

（3）我们可以得到公式：___________．

【变式2-1】如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（???）

A． B．

C． D．

【变式2-2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（????）

A． B． C． D．6

【变式2-3】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．

(1)请表示图①中阴影部分的面积；

(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图②），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？

(3)比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？

考点03：运用完全平方公式进行运算

例题3.已知，．则，

【变式3-1】已知，则．

【变式3-2】计算：

【变式3-3】先化简，再求值：，其中

考点04：通过完全平方公式变形求值

例题4.已知，求的值．

【变式4-1】已知，，则．

【变式4-2】已知：，，则代数式的值为

【变式4-3】代数式可以化为，则的值是．

考点05：求完全平方公式中的字母系数

例题5.已知二项式A和单项式B满足，那么．

【变式5-1】如果是一个完全平方式，那么常数．

【变式5-2】若关于的整式是某个关于的整式的平方，则．

【变式5-3】已知是一个完全平方式，则k的值为．

考点：06完全平方公式在几何图形中的应用

例题6.如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形．

(1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示）

(2)在图2中，m与n的等量关系为______；

(3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式．

【变式6-1】如图，长方形的周长为，面积为，以为边向外作正方形和，求正方形和的面积之和．

【变式6-2】如图，将4个长为，宽为的长方形木条拼成一个正方形相框．

(1)若，，求正方形和正方形的面积；

(2)用两种不同的方法计算大正方形的面积，你发现了什么