2025年高考数学第二卷第6题详解试屏 .pdfVIP

以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》

2025年高考数学第二卷第6题详解试屏

2025年高考数学第二卷第6题详解试屏

一、题目回顾

2025年高考数学第二卷第6题是一道应用题，要求考生运用三角函数

知识解决实际问题。题目如下：

已知某场景的相机位置为点A，拍摄所得图像平面为Oxy坐标系，镜

头的视角为α°。相机朝向图像平面内的一点B，AB与图像平面的夹角

为β°。求相机位置对应的图像平面上一点P，使得P与A和B构成的

△PAB的面积为最大。

二、问题分析

题目要求求解最大面积△PAB，可以通过计算△PAB的面积对α和β

进行约束，从而确定最优解。由题目说明可知，平面上的点P到线段

AB的距离越远，△PAB的面积将越大，因此我们可以将问题转化为求

点P到线段AB的距离的最大值。

三、解题思路

1.建立坐标系：将相机位置A设为原点O，图像平面上一点B的坐标

设为(xb,yb)，点P的坐标设为(x,y)。

去留无意，闲看庭前花开花落；宠辱不惊，漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》

2.推导点P到线段AB的距离公式：根据几何关系可得，点P到线段

AB的距离可以表示为△PAB的高。设点Q为线段AB延长线上的一个

点，则△PAB和△QAB的高重合，且垂线垂直于AB。因此，点P到

线段AB的距离等于点P到线段AB延长线的距离，即点P到点Q的

距离。

3.求点P到点Q的距离：根据空间解析几何知识可知，点P到点Q的

距离可以用点P、点Q的坐标表示。点Q在线段AB延长线上，即Q=

λB，其中λ为实数。点P到点Q的距离可以表示为：

d(PQ)=√((x-λxb)²+(y-λyb)²)

4.求点P到线段AB的最大距离：为了求解最大距离，可以将距离公式

式子展开，并对λ求导，令导数为0。然后求解λ，并带入公式得到点

P的坐标。

四、求解最优解

经过计算和推导，可以得到最优解的坐标公式：

x=(αcosβ)/(2sin(α-β))

y=(αsinβ)/(2sin(α-β))

其中，x和y分别为点P在图像平面上的横纵坐标。根据以上公式，即

吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》

可求解出点P的坐标，从而得到最大面积△PAB。

五、总结与展望

通过本题的解析可以看出，高考数学中的应用题要求考生能够灵活运

用数学知识解决实际问题。本题通过建立坐标系、推导距离公式、求

解最大距离等步骤，帮助考生深入理解空间几何的概念与运算，并通

过计算得到最优解。

在今后的教学和学习中，我们需要注重学生数学思维的培养，培养学

生运用数学知识解决实际问题的能力。同时，也应加强数学知识与实

际应用的结合，为学生提供更多的实践机会，提高他们的综合能力。

通过不断的理论学习和实践探索，相信未来的高考数学考题会更加贴

近实际，考查学生的数学运用能力和创新思维。我们也希望广大考生

能够充分准备，勇于挑战，取得优异成绩。加油！