2025年中考数学几何模型归纳训练（全国）专题16 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型解读与提分精练（原卷版）.pdfVIP

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专题全等三角形模型之婆罗摩笈多模型

婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元598年~660年。

他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角

形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于

月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以

他命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗

摩笈多”模型。

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1.“”2

模型婆罗摩笈多模型

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大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

模型1.“婆罗摩笈多”模型

婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从

交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。

模型特征：（1）△BCP和△ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合.

模型1）知中点证垂直

条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N

为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC2AN；S△ABCS△AEG。

证明：（倍长中线法）延长AN到W，使NWNA，连接EW。

在∆WEN和∆AGN中，NWNA（已作），∠WNE∠ANG（对顶角），ENGN（已知）

∴∆WEN≌∆AGN(SAS)，∴EWGA，∠EWN∠GAN。

∵∠EWN∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG180°(平行线同旁内角)。

∵∠GAC90°，∠EAB90°，∴∠EAG+∠CAB180°，∴∠WEA∠CAB。

∵EWGA，又∵GAAC，∴EWAC。

在∆EWA和∆ACB中：EAAB，∠WEA∠CAB，EWAC，∴∆EWA≌∆ACB(SAS)。

∴WACB，∠EAW∠ABC，∵∆ABC≌∆EAW，∴S∆EWAS∆ACB。

∵∆WEN≌∆AGN，∴S∆WENS∆AGN，∴S∆ACBS∆EWAS∆AEN+S∆EWNS∆AEN+S∆AGNS△AEG。

∵WNAN，∴BC2AN，∵∠WAB∠EAB+∠EAW。

又∵∠WAB∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW∠ABM+∠AMB。

∵∠EAW∠ABC（∠ABC即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM∠ABM+∠AMB。

∴∠EAB∠AMB，∴∠AMB90°，即AM⊥BC。

模型2）知垂直证中点

条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。

结论：N为EG的中点；BC2AN；S△ABCS△AEG。

证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W，∵EW//AG，∴∠WEA+∠EAG180°，

∵∠EAB和∠GAC为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC180°，

∴∠WEA∠BAC，∵EW//AG，∴∠EWN∠GAN，

∵∠GAN+∠MAC90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC+∠MCA90°，∴∠MCA∠GAN，∴∠MCA∠EWN，

在∆ABC和∆EAW中，∠BCA∠AWE，∠CAB∠WEA，ABEA，∴∆ABC≌∆EAW(AAS)，

∴AWBC，∴WECA，∵CAAG，∴WEAG，∵EW//AG，∴∠WEN∠AGN，

在∆WEN和∆AGN中