2025年沪科版八年级数学寒假预习 第08讲 勾股定理.docxVIP

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第08讲勾股定理

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；

1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：，，.

2.勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.

图中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.

图中，所以。

方法三：如图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

图中，所以。

3.勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果(a、b、c)是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。

考点01：用勾股定理理解三角形

例题1．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，已知等腰的底边，为腰上的高，且，求的周长．

【变式1-1】在中，斜边，则的值为（???）

A．15 B．25 C．50 D．60

【变式1-2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图是一块长方形草坪，是一条被踩踏的小路，已知米，米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式1-3】如图，在中，，，，垂足为，若，则的长为．

考点02：已知两点坐标求两点距离

例题2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点，，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成和．

(1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离；

(2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为，试求M，N两点间的距离．

【变式2-1】已知直角坐标平面上点和，那么．

【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为1,0，过轴上的点作垂直于轴，若，以为圆心，为半径作圆弧交轴正半轴于点，则点的坐标为．

【变式2-3】已知平面内两点，，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．

(1)已知点、，试求、两点间的距离；

(2)点在第一三象限角平分线上，且轴，点的横坐标为，试求、两点间的距离．

考点03：勾股数问题

例题3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是．

【变式3-1】在下列各组数中，是勾股数的一组是（???）

A．，， B．5，6，7 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13

【变式3-2】下列各组数是勾股数的是（???）

A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11

【变式3-3】已知勾股数的两个数分别是40，，则勾股数的第三个数是．

考点04：以直角三角形三边为边长的图形的面积

例题4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）勾股定理是数学中一颗璀璨的明珠，在人类的文明史上有杰出的贡献．如图1，在中，，，分别以的各边为一边向外部作正方形，把两个较小正方形按图2放置，若图形①的面积是4，则图形②的面积是．

【变式4-1】图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（????）

A． B． C． D．

【变式4-2】如图所示，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于．

【变式4-3】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积差为