微积分中值定理.ppt

第三章中值定理与导数的应用本章导数的应用包括：2、利用导数讨论函数的性态（3.3—3.5节）3、导数在经济中的应用（3.6节）1、利用导数求函数的极限(3.2节)中值定理

第三章中值定理与导数的应用中值定理是微分学的理论基础,它把函数的改变量同函数的导数联系起来,使得我们能够利用导数来研究函数及其图形的性态。本章我们将学习：●中值定理●洛必达法则●函数单调性、极值与最值的计算●曲线凹凸的判定●函数图形的作法●经济应用

罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理中值定理§3.1中值定理泰勒定理

我们先通过几何图形直观理解罗尔定理:3.1.1罗尔(Rolle)定理图1图2（1）连续；（2）可导；（3）端点处函数值相等。

如何证明？一、定理3.3.1(罗尔定理)函数f(x)在最大值点或最小值点处一阶导数为零。证明关键点

证证明关键点：f(x)在最大值点或最小值点处一阶导数为零。故M和m不可能同时在区间端点a,b处取到，

由极限的不等式性质知:证毕分母?0分子?0分式?0

注：(1)罗尔定理三个条件是充分条件，只要三个条件满足，就保证结论成立，若定理中的三个条件缺少其中任何一个，定理结论不一定成立.如下图:(2))()(bfaf1图四不可导图三

解：

注意与零点定理应用的区别三、应用二、几何意义

解：例2

由罗尔定理知，至少存在一点例3设为n次多项式，没有实根，试证明最多只有一个实根.证设至少有两个不等的实根，设为，不妨设因在上连续，在内可导，且使得方程的根，即是与题设矛盾.所以，最多只有一个实根.

证：例4

罗尔(1652-1719)是法国数学家.1652年4月21日生于昂贝尔特,1719年11月8日卒于巴黎.罗尔在数学上的成就主要是在代数方面,专长于丢番图方程的研究.罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。但罗尔并没有使用导数的概念和符号，后一个多项式实际上是前一个多项式的导数，罗尔只叙述了这个结论，而没有给出证明。这个定理本来和微分学无关，因为当时罗尔是微积分的怀疑者和极力反对者，他拒绝使用微积分，而宁肯使用繁难的代数方法。但在一百多年之后，即1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数,尤斯托.伯拉维提斯还把此定理命名为罗尔定理.

根据待证结论构造辅助函数

证

例如：f(x)在以a,b为端点的区间上应用拉格朗日中值定理

注：

求出定理中的例1验证函数在区间上满足拉格朗日定理条件，并解因为函数为基本初等函数，故f(x)在[1,e]上连续，则存在一点，使得即故f(x)在[1,e]上满足拉格朗日中值定理的条件，