2025年新高考数学一轮复习6-3 平面向量的应用(知识点讲解)解析版.pdfVIP

以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子》

专题6.3平面向量的应用（知识点讲解）

【知识框架】

【核心素养】

1.以平面图形为载体，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想

象的核心素养．

2．与三角函数、向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核

心素养．

3．与平面几何问题相结合，考查平面向量基本定理、数量积等的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想

象的核心素养．

【知识点展示】

（一）平面向量与平面几何

1.向量在平面几何中的应用主要有以下方面：

(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．

(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：a∥b⇔a

＝λb(或xy－xy＝0)．(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否

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垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0(或xx＋yy＝0)．

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其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

a·b

(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝．

|a||b|

(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量

用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．

2.向量与平面几何综合问题的解法

(1)坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向

量运算，从而使问题得到解决．

(2)基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．

（二）平面向量与解析几何

向量在解析几何中的作用

(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算

脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．

(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的

坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．

（三）平面向量与三角函数

解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．

（四）平面向量在物理中的应用

数学中对物理背景问题主要研究下面两类：

(1)力向量

力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，

在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．

(2)速度向量

速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．

（五）常用结论：

运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心

→→→→→→

(1)|OA|＝|OB|＝|OC|(或OA222)⇔O是△ABC的内心；

＝OB＝OC

→→→

(2)OA＋OB＋OC＝0⇔O是△ABC的重心；

→→→→→→

→→→→→→→ABAC→BABC→CACB

(3)OA·OB·OC·OA⇔O是△ABC的