2024-2025学年河北省沧州市高二上学期12月联考数学检测试题（附解析）.docx

2024-2025学年河北省沧州市高二上学期12月联考数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知直线与直线平行，则（????）

A． B．3 C． D．1

2．庞士-布鲁克斯彗星在1812年7月12日首先被珍-路易斯?庞士发现，之后每次回归都被天文学家记录.约翰?法兰兹?恩克测量出该彗星明确的回归周期是70.68年.2024年4月21日，该彗星重回地球视野，我国不少天文爱好者成功观测并拍摄到这位“天外来客”.该彗星自首次被发现以来，到2024年重回地球视野，共出现过（????）

A．2次 B．3次 C．4次 D．5次

3．已知双曲线的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（????）

A．1 B．2 C． D．

4．已知直线和平面满足，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能为（????）

A．

B．

C．

D．

5．已知数列的通项公式为，则中的项最大为（????）

A． B．0 C． D．2

6．已知为等差数列的前项和，若，且，则（????）

A．1 B．2 C． D．

7．已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，若直线垂直平分线段，则（????）

A． B． C． D．

8．如图，在圆锥中，是底面圆直径，为的中点，点分别在直线上，则线段的最小值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知数列的前项和，则下列结论正确的是（????）

A．的通项公式为

B．若，则

C．当时，取得最小值

D．数列的前10项和为58

10．已知为抛物线的焦点，圆，过点的直线与圆交于点（在第四象限，在第一象限），与抛物线交于点（在第四象限，在第一象限），下列结论正确的是（????）

A．若直线的斜率为1，则

B．若直线的斜率为1，则

C．若，则

D．若，则

11．莫里茨?科内利斯?埃舍尔，荷兰版画家，因其绘画中的数学性而闻名.在他的作品中可以看到对分形?对称?密铺平面?双曲几何和多面体等数学概念的形象表达.如图所示的几何体就在他的作品《星辰》中出现.该几何体由正方体和正八面体（8个面都是正三角形）相互交错而成，正八面体的12条棱正好穿过正方体12条棱的中点.若正方体的棱长，为正方体一条棱的中点，为该几何体的顶点，则（????）

A．该几何体的体积为12

B．该几何体的表面积为

C．该几何体可以被半径为的球完全包裹

D．直线与直线所成角的余弦值为

三、填空题（本大题共3小题）

12．如图，圆的圆心分别为，半径都为1，写出一个与这三个圆都相切的圆的标准方程：.

??

13．在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则.

14．设双曲线的左焦点为，过点作圆的切线，切点为，直线与的右支交于点，为线段的中点，为坐标原点，，则的离心率为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．记是公差不为0的等差数列的前项和，且.

(1)求的通项公式；

(2)求使成立的的最小值.

16．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，抛物线的焦点与重合，是与的一个公共点.

(1)若，求与的标准方程；

(2)若双曲线的离心率为3，证明：的中点在上.

17．如图，在三棱锥中，底面为的中点，，垂足为.

(1)证明：平面.

(2)求二面角的正弦值.

18．已知是各项都为正数的递增数列，给出两个性质：

①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；

②对于中任意一项，在中都存在两项，使得.

(1)若，判断是否满足性质①，说明理由；

(2)若，判断是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(3)若同时满足性质①和性质②，证明：成等差数列.

19．已知椭圆的左?右焦点分别为，点在上，且轴.

(1)求的方程.

(2)已知直线过点且与轴垂直，直线过点且与椭圆相切，直线与直线交于点.

①若，求；

②证明.

答案

1．【正确答案】A

【详解】∵直线与直线平行，

∴，解得.

此时两直线为与，满足题意.

故选：A.

2．【正确答案】C

【详解】解：设共出现过次，

则，解得,

所以该彗星自首次被发现以来，到2024年重回地球视野，共出现过4次.

故选：C

3．【正确答案】A

【详解】双曲线的，则，

即，渐近线方程为，

所以直线，由双曲线的对称性，

不妨设渐近线方程为，直线，

方法一：联立方程组，解得，∴

方法二：由直线的倾斜角可得

易知（为坐标原点）为等腰直角三角形，，则.

??

故选：A.

4．【正确答案】B

【详解】由，得，所以，即，

对A：，不符，故A错误；

对B：，符合要求，故B正确；

对C：，不符，故C错误；

对D：，不符，故D错误；

故选：B.

5．【正确答案】D

【详解】.

当时，函数单调递减，

则当时，数列单调递减，

所以中的项最大为.

故选：D.

6．【正确答案】B

【详解】由等差数列的性质可得