高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳.docVIP

2012届高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳〔18〕

一、直接根据题意建立不等关系求解.

例1：假设双曲线〔a＞0,b＞0〕上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，那么双曲线离心率的取值范围是

A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+)

解析由题意可知即解得应选B.

练习1椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，假设，那么该椭圆离心率的取值范围是〔〕

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

解析由题意得∴应选D.

二、借助平面几何关系建立不等关系求解

例2：设分别是椭圆〔〕的左、右焦点，假设在其右准线上存在使线段的中垂线过点，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕

A． B． C． D.

分析通过题设条件可得，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？

解析：∵线段的中垂线过点，∴，又点P在右准线上，∴

即∴∴，应选D.

点评建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比拟简便.

三、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.

例3：双曲线〔a＞0,b＞0〕的两个焦点为F1、F2,假设P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,那么双曲线离心率的取值范围为

A.(1,3) B. C.(3,+) D.

分析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？

解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|?|PF2|=|PF2|=，|PF2|即∴

所以双曲线离心率的取值范围为，应选B.

点评：此题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论〔双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于〕那么可建立不等关系使问题迎刃而解.

练习1双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,那么此双曲线的离心率e的最大值为：()

ABCD

∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1|?|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即∴

所以双曲线离心率的取值范围为，应选B.

练习2，分别为的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，假设的最小值为，那么该双曲线的离心率的取值范围是〔〕

ABCD

解析，欲使最小值为，需右支上存在一点P，使，而即所以.

例5：椭圆右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

解：设P点坐标为〔〕,那么有

消去得假设利用求根公式求运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知由得

例6：椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使.求椭圆离心率的取值范围；

解析设……①

将代入①得求得.

点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.

四、运用数形结合建立不等关系求解

例7：双曲线的右焦点为F，假设过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

解析欲使过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，即即∴即应选C.

五、运用函数思想求解离心率

例8：设，那么双曲线的离心率e的取值范围是

A．B.C.D.

解析：由题意可知∵∴

∴，应选B.

六、运用判别式建立不等关系求解离心率

例9：在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，假设，求椭圆的离心率.

解析:由椭圆的定义，可得又，所以是方程的两根，由，可得，即所以，所以椭圆离心率的取值范围是

例10：设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围：

解析由C与相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得

〔1－a2〕x2+2a2x－2a2=0.

所以解得

双曲线的离心率

∴

所以双曲线的离心率取值范围是

总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.

稳固练习例1.设，那么二次曲线的离心率的取值范围为〔〕

A.B.C.D.〔〕

解：由，知，

故所给的二次曲线是双曲线，由双曲线的离心率e1，排除A、B、C，应选D。

2.双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，那么该双曲线的离心率为〔〕

A.B.C.D.

解：抛物线的准线是，

即双曲线的右准线，

那么，解得，

应选D。

3.点P〔-3，1〕在椭圆的左准线上，过点P且方向为a