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第十章波动方程的达朗贝尔解(9)

一、内容摘要

1．行波法达朗贝尔公式

行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有。一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：

可以证明，原问题具有如下形式的通解：

将该通解代入泛定方程得到该方程的附加方程：；

且解为。原方程的通解可以表示为:

．

原方程满足初始条件的特解可以表示为:

，这个式子就是达朗贝尔公式为任意二次可微函数.达朗贝尔解可以理解为扰动在弦上总是以行波的形式沿相反的两个方向传播出去，因此该解发又称为行波法或传播波法。

2．行波法要点

行波法始原于研究行进波，其解题要领为：

（1）引入变量代换，将方程化为变量可积的形式，从而求得其通解；

（2）用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。

由于大多偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有较大局限性，但对于研究波动问题而言，有它的特殊优点。

二、习题

1．求解初值问题

（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

2．验证是偏微分方程的解，其中是充分光滑的任意函数。

3．试求解有阻尼的波动方程的初值问题。

．

4．求偏微分方程：

（1）．（2）．

5．求细圆锥形匀质杆的振动，其泛定方程为．

三、参考答案

1．解：

(1)，故由dAlembert公式可得

．

(2)由dAlembert公式可得：

．

(3)此处，故由dAlembert公式可得：

．

(4)由dAlembert公式可得：

2．解：由易得：

．

故有

．

从而为该偏微分方程的通解。

3．解：

其泛定方程与无界弦自由振动相比，多了阻尼项，故不能直接用dAlembert公式求解。对于阻力作用，常常可表示为其解中带一个随时间成指数衰减的因子，故可令：

③

其中，为一未定参数，于是：

带入阻力振动方程①得：

，显而易见，若取，则上述方程便化为标准的波动方程④

而此时将③式代入②式，得：

，，即

⑤

于是求定解问题①、②的解救转化为了求解定解问题④、⑤的解，由dAlembert公式有：

，代入③式得原定解问题的解，为：．

4．解：

（1），椭圆型，，，如果方程为①，其中A、B、C、D、E与F均为实常数，则，上式代入方程①得．

Ⅰ、，双曲型，上述方程可解得二个不同的根，则．

（2），双曲型，由解得，则或．

Ⅱ、，抛物型，由方程解得，，则．

5．解：此问题未给出定解条件，只须求出通解。作变换：，则得：，

所以得到：，由dAlembert公式有：

，

最后得：．