2024-2025学年江苏省南通市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析）.docx

2024-2025学年江苏省南通市高三上学期12月月考数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．设集合，，则等于（????）

A． B． C． D．

2．设，，其中为虚数单位，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（????）

A．4 B． C． D．5

4．在正六棱台中，，点是底面的中心，若该六棱台的体积为84，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

5．已知，，则（????）

A． B． C． D．

6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆的上顶点作直线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

7．已知函数在区间上有极大值，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

8．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知函数的图象关于直线对称，则（????）

A．

B．在区间上有且仅有2个零点

C．是奇函数

D．在区间上单调递减

10．已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法正确的是（????）

A．平面与平面夹角的正弦值为

B．若点满足，则的最小值为

C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为

D．点在平面内，且，则点轨迹的长度为

11．已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为．若为偶函数，，，则下列选项正确的是（????）

A． B．

C． D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知直线：分别与曲线，都相切，则的值为．

13．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是．

14．已知是圆：上的动点，，点，是圆：上的两个动点，点满足，，则的最小值为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知在中，，．

(1)判断的形状，并说明理由；

(2)点在边上，且，若，求的面积．

16．设函数的表达式为（且）．

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数，求的值．

17．已知圆：，过点的直线交圆于，两点．

(1)若，求此时直线的方程；

(2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上．

18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.

(1)求证：平面平面；

(2)设.

①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.

19．已知函数．

(1)若1是的极值点，求的值．

(2)若，试问是否存在零点？若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．

(3)若有两个零点，求满足题意的的最小整数值．

答案

1．【正确答案】C

【详解】由，解得，所以，

又，

所以.

故选：C

2．【正确答案】B

【详解】因为，所以，

因为，所以，整理得，解得或；

因为是或的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．【正确答案】B

【详解】由题得向量在向量上的投影向量为，

所以，又，故，

因为，所以，

所以，

所以

，

所以.

故选：B.

4．【正确答案】C

【详解】如图，取上底面中心为，取中点，连接，

则由正六棱台结构特征可知两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，

所以该六棱台的上下底面面积为，且，

又该六棱台的体积为84，则，

所以，即该六棱台的高为，

所以，

所以，

设异面直线与所成角为，

则.

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：C.

5．【正确答案】D

【详解】因为，，

所以，所以，

所以

则

.

故选：D

6．【正确答案】A

【详解】如图：

??

因为，BF1

所以的周长为，则，

又，所以，，则.

又，

所以.

所以椭圆的离心率为.

故选：A

7．【正确答案】B

【详解】因为，

所以，

因为函数在区间上有极大值，

令，因为在上单调递减，

所以在区间上有零点，且零点左侧函数值大于，右侧函数值小于，

所以，解得，

此时设在区间的零点为，

则当时，即，所以在上单调递增，

当时，即，所以在上单调递减，

则在处取得极大值，符合题意；

所以实数的取值范围是.

故选：B

8．【正确答案】C

【详解】由可得，即，

当时，，不等式在上显然成立；

当时，令，则在上恒成立，

由，在上，所以在上单调递增，

又时，，，所以只需在上恒成立，

即恒成立．

令，则，即在上单调递增，

其中，

故，

所以此时有．

综上，．

故选：C．

9．【正确答案】ACD

【详解】对于A，函数的图象关于直线对称，

则，即

因为，所以取，则，故A正确；

对于B，，

令，得，所以，

当时，；当时，；当时，，

所以在区间上只有一个零点，故B