2025年中考数学几何模型归纳训练（全国）专题35 最值模型之费马点模型解读与提分精练（原卷版）.pdfVIP

专题35最值模型之费马点模型

费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考

试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，

而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费

马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之

和最小的点。

1

1.1

模型费马点模型

模型2.加权费马点模型5

7

模型1.费马点模型

结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，

MA+MB+MC的值最小。

图1图2图3

注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就

是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°）

证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．

ABBE

在△AMB与△ENB中，∵ABMEBN，∴△AMB≌△ENB（SAS）．



BMBN



连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．

∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．

此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设

交点为M，则点M即为△ABC的费马点。

【最值原理】两点之间，线段最短。

ABCPABC

例．（九年级上广东江门阶段练习）如图，在中，，点为

123-24··BAC90,AB5,AC23

PABC

内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是．

ABCDAB4,BC6,EBC

例2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在矩形中，是的中点，是边上一

ABF

BP,PB,PC,PD,PBPCPD

动点，将沿着翻折，使得点落在点处，矩形内有一动点连接则

△BEFEFB

的最小值为．

例．（九年级下河南周口阶段练习）【问题背景】在已知ABC所在平面内求一点，使它到三角形

323-24··P

的三个顶点