专题01 勾股定理（考题猜想，易错必刷30题6种题型专项训练）（原卷版）.docxVIP

专题01勾股定理（易错必刷30题6种题型专项训练）

勾股定理

勾股定理的证明

勾股定理的逆定理

勾股数

勾股定理的应用

平面展开-最短路径问题

一．勾股定理（共13小题）

1．如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△CDE的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DCE＝（）

A．75° B．90° C．120° D．135°

2．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）

A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4

C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定

3．在△ABC中，，AC＝2，∠B＝30°，求BC的长（）

A．4 B．2 C．4或6 D．2或4

4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则线段CE的长为（）

A． B．2 C． D．

5．如图，Rt△ABC的两条直角边BC＝6，AC＝8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，则S2+S3﹣S1的值为（）

A．4 B．3 C．2 D．0

6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（）

A． B．1 C． D．

7．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续做下去，得OP2018＝（）

A． B．2018 C． D．1

8．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B、C、D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为cm．

9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝．

10．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，D为BC延长线上一点，BE⊥AD．若CD＝6，则BE的长为．

11．如图，由图中的信息可知点P表示的数是．

12．【探究发现】

我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2＝c2．

（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：

已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．

求证：a2+b2＝c2．

证明：由图可知S正方形ABED＝4S△ABC+S正方形CFGH，

∵S正方形ABED＝c2，S△ABC＝，

正方形CFGH边长为，

∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2，

即a2+b2＝c2．

【深入思考】

如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角△ABD，其中AB＝BD，∠ABD＝90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．

（2）求证：DE＝a，BE＝b；

（3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2＝c2；

【实际应用】

（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”．若a＝12，b＝9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．

13．问题再现：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．

（1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论．

（3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．

（4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积．

二．勾股定理的证明（共1小题）

14．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方