浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷.docx

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浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．将化为弧度是（????）

A． B． C． D．

2．已知角的终边过点，则（????）

A． B． C． D．

3．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（????）

A． B． C． D．

4．将函数图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（????）

A． B．

C． D．

5．函数的零点个数为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．在内函数的定义域是（????）

A． B．

C． D．

7．已知等边三角形的边长为2，点为内切圆上一动点，若，则的最小值为（????）

A．2 B．1 C． D．

8．已知且，则的最大值为（????）

A． B． C．1 D．

二、多选题

9．已知平面向量，下列说法不正确的有（????）

A．若，，则

B．

C．

D．若，则

10．已知函数，则（????）

A．曲线的一个对称中心为

B．函数在区间单调递增

C．函数为偶函数

D．函数在内有4个零点

11．已知，则下列选项正确的有（????）

A．

B．

C．

D．若，则

三、填空题

12．一个扇形的周长为，面积为，则此扇形的圆心角为.（用弧度制表示）

13．设是平面内不共线的一组基底，，若三点共线，则实数.

14．已知函数，其中，在上有6个零点，则的范围为.

四、解答题

15．如图，在平行四边形中，点为中点，点，在线段上，满足，设.

(1)用表示向量；

(2)若，求.

16．已知.

(1)分别求和的值；

(2)求的值.

17．已知函数.

(1)若是三角形中一内角，且，求的值；

(2)若函数在，有唯一零点，求的范围.

18．已知函数的部分图象如图所示，

(1)求的解析式；

(2)已知在的值域为，求的取值范围；

(3)将图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变），再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象.已知关于的方程在内有两个不同的解.

①求实数的取值范围；

②求的值.（用表示）

19．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正，余弦函数有许多类似的性质.

(1)已知，求；

(2)类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求或）并证明；

(3)已知，对任意的和任意的，都有恒成立，求的取值范围.

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《浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

D

B

B

C

B

A

AB

BCD

题号

11

答案

ABD

1．A

【分析】利用角度制与弧度制的互化关系求解.

【详解】.

故选：A.

2．C

【分析】根据三角函数定义得到，由诱导公式得到答案.

【详解】由三角函数定义知，，

.

故选：C

3．D

【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可.

【详解】因为向量满足，

所以，解得，

所以在方向上的投影向量是，

故选：D.

4．B

【分析】结合三角函数伸缩变换与平移变换的性质往回推导即可得.

【详解】由题意可得，将函数横坐标变为到原来的倍，纵坐标不变，

可得，再将其向右平移个单位长度，

即，即.

故选：B.

5．B

【分析】分别画出，图象，求两函数交点个数即可得.

【详解】令，，

则的零点个数即为y=gx与的交点个数，

画出两函数图象如图所示：

??

由图可得y=gx与的交点个数为个，

故函数的零点个数为.

故选：B.

6．C

【分析】根据被开方数为非负和对数的真数要大于零即可求解.

【详解】对于，有，

由，得，解得，

又，得；

由，得，解得，

又，得或或；

综上，或，

所以的定义域为，

故选：.

7．B

【分析】以的内切圆心为原点建立平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标表示，结合三角函数性质求出最小值.

【详解】正的边长为2，则其内切圆半径，

以正的中心为原点，边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标