河南省名校联盟2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷.docx

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河南省名校联盟2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（???）

A．（3，1） B． C． D．

2．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

3．曲线在处的切线经过点，则实数的值为（???）

A． B．0 C．1 D．2

4．已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，体积是，则圆锥的底面半径为（???）

A． B． C．2 D．3

5．函数的值域是（???）

A． B． C． D．

6．已知双曲线的离心率为，双曲线的一条渐近线与圆交于两点，则（???）

A． B． C．3 D．

7．已知等差数列的前项和为，若，则（???）

A． B． C． D．

8．已知函数为偶函数，当时，．若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（???）

A． B．

C． D．

10．如图，在中，平面，点在平面的同侧，，在平面内的射影的长分别为3，4，则（???）

A．平面

B．

C．四棱锥的体积为

D．平面与平面的夹角的正弦值为

11．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（???）

A．椭圆的离心率为

B．当时，

C．

D．当点在第三象限时，若，则

三、填空题

12．已知向量的夹角为，若在方向上的投影向量为，则．

13．已知，则．

14．已知函数，若存在实数满足，则的最大值为．

四、解答题

15．在中，内角，，，所对的边分别为，，，且．

(1)求；

(2)若，的面积为，求．

16．如图，在正方体中，为的中点，为的中点，是的中点．

??

(1)证明：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

17．在前项和为的等比数列中，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，记，求数列的前项和；

(3)若，记，且，求数列的通项公式．

18．已知函数，其中．

(1)当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围；

(2)若是函数的极小值点，求实数的取值范围．

19．已知抛物线（为正整数），为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，记点的纵坐标分别为（其中）．

(1)证明：成等差数列；

(2)若，记等差数列的公差为．

（i）用和表示；

（ii）初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支．初等数论中有如下定理：若两个正整数的最大公约数为1，且这两个正整数的乘积是某个正整数的平方，则这两个正整数都为完全平方数．请用该定理证明下面的问题：若为正奇数，为正整数，且这三个数两两之间的最大公约数都为1，证明：一定可以表示为某两个正整数的平方之和．

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《河南省名校联盟2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

C

D

C

D

A

B

ABD

BC

题号

11

答案

ACD

1．B

【分析】化简复数，即可得到复数对应点的坐标.

【详解】由，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，故选B．

2．A

【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】由得，解得，则，

因为，则，

因此，.

故选：A．

3．C

【分析】求导，由导数几何意义得到函数在处的切线斜率，结合两点间斜率公式得到方程，求出实数的值.

【详解】，由导数几何意义知，

在处的切线斜率为，

当时，切线经过点，故有，解得.

故选：C．

4．D

【分析】由圆锥侧面积、底面积、体积公式及勾股定理建立关于方程组，消解即得.

【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，

则，可得，

则，

由圆锥的体积为，则，可得．

故选：D．

??

5．C

【分析】辅助角化简，根据的取值范围，求得的取值范围，即可求得值域，再结合指数函数的单调性可以求得.

【详解】由，因为，有，

有，有，故函数的值域为.

故选:C

6．D

【分析】根据离心率得到的关系，求出渐近线方程，求出圆心到两渐近线的距离，推理得到渐近线与圆相交，由垂径定理得到弦长.

【详解】由，有，

可得双曲线的渐