2025年中考数学几何模型归纳训练（全国）专题37 最值模型之瓜豆模型（原理）直线解读与提分精练（解析版）.pdfVIP

专题37最值模型之瓜豆模型（原理）直线

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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1.1

模型瓜豆原理（模型）（直线轨迹）

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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨

迹相同。

只要满足：

则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹

1、两“动”，一“定”

长度的比和它们到定点的距离比相同。

2、两动点与定点的连线夹角是定角

3、两动点到定点的距离比值是定值

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直

线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上

运动时，则Q点轨迹也是一条直线。

证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，

因为AP2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

模型2）如图，在△APQ中APAQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条

直线。

证明：在BC上任取一点P，作三角形△APQ，且满足∠PAQ，AQAP，连结QQ交BC于点N，

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∵APAQ，AQAP，∠PAQ∠PAQ，APPAQQ，∴∠APP∠AQQ，

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∵∠AMP∠NMQ，∴∠MNQ∠PAQ，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线．

当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；

②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）

为其他已知轨迹的线段求最值。

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例．（山东泰安校考一模）如图，矩形ABCD的边AB,BC3，为上一点，且，

12024··EABAE1F

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EFEFEFG,EFEGCGCG

为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则

AD

的最小值为（）

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．