2025年中考数学几何模型归纳训练（全国）专题37 最值模型之瓜豆模型（原理）直线解读与提分精练（原卷版）.docxVIP

专题37最值模型之瓜豆模型（原理）直线

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹） 1

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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。

只要满足：

则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。

则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。

1、两“动”，一“定”

2、两动点与定点的连线夹角是定角

3、两动点到定点的距离比值是定值

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。

证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，

因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。

证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N，

∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1，

∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线．

当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

=1\*GB3①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；

=2\*GB3②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；

=3\*GB3③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）为其他已知轨迹的线段求最值。

例1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（????）

A． B． C．3 D．

例2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接，则，连接，则周长的最小值是．

例3．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为．

例4．（2023·安徽·合肥三模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（????）

A． B． C． D．

例5．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为.

例6．（2024·重庆模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为______．

例7．（2024·广东·九年级校考期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（）

A．2 B．2.5 C． D．

1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（????）.

A．4 B． C． D．

2．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形中，，F是上一点，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为