2025届新高考数学真题解析几何专题讲义第27讲 圆锥曲线上四点共圆问 精品.pdfVIP

志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟

2025届新高考数学真题解析几何专题讲义第27讲圆锥曲线上四

点共圆问题

一、问题综述

四点共圆问题本属于平面几何内容，是数学竞赛中的高频考点，近年来，圆锥曲线中的四点共圆问题也频繁

出现在高考试题中.这类试题将圆锥曲线与四点共圆有机地结合在一起，重点考查数学运算能力和推理论证能

力，由于问题综合性强，运算量打，大多考生望而生畏，或者在计算时半途而废.

解决四点共圆问题，主要涉及的知识有（1）由圆的定义，利用圆心到圆上各点的距离相等;(2)利用相交

弦定理（3）利用圆的弦心距d，半弦长和和半径构成直角三角形（4）利用直径所对的圆周角为直角，既可

以用勾股定理，也可以用斜率方法。当然，如果利用曲线系方程或者参数方程，则可减少计算量，甚至起到事

半功倍的效果.

下面先用曲线系方程给出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件的统一证明：

圆锥曲线上四点共圆定理1：

ykxb22有四个交点，则四个交点共圆的充要

若两条直线i1,2与圆锥曲线axbycxdyc0ab

ii

条件是kk0

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，则过四个交点的曲线方程可设为

证明：两直线组成的曲线方程为kxybkxyb0

1122

22①

kxybkxyb+axbycxdye0

1122

必要性：若四点共圆，则方程①表示圆，那么①式左边展开式中xy项的系数为零，即有kk0.

12



kk0时，令①式左边展开式中22项的系数相等，得kka1b，联立解得kk，

充分性：当x,y

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