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解方法1(分布函数法)由题设得到X的分布函数故Y的分布函数为≤y}?=FY(y)=P{Y≤y}=P{所以FY(y)=对y求导,Y的概率密度为fY(y)=方法2(公式法)X的概率密度为时,当,反函数严格单调且有连续导数由定理得Y的概率密度fY(y)=即fY(y)=已知连续型随机变量X的概率密度为fX(x),随机变量Y是X的函数Y=g(X),求Y的概率密度的方法通常有如下两种:讲评分布函数法:先求Y的分布函数FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=再对上式两边求导得fY(y)=.公式法:在使反函数无意义的点y处,定义fY(y)=0.其中g(X)严格单调,其反函数有连续导数利用随机变量函数的分布函数或概率密度,可以继续要求计算概率P{1Y≤e}.扩展例14设随机变量X服从参数为2的指数分布,求Y=g(X)的分布函数,其中当y≥1时,FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{S}=1;本题是连续型随机变量函数的分布函数求解问题.分析解}=0;当y0时,FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{由题设X的分布函数为当0≤y1时,FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤y}=FX(y)=所以Y=g(X)的分布函数分布函数法具有普遍性,公式法要求函数单调,反函数导数连续,对于分段函数难于利用.讲评(1)可以要求计算概率密度.(2)本题的结果显示:尽管连续型随机变量X的分布函数连续(本题X服从指数分布),尽管X的函数Y=g(X)也连续,但仍不能保证Y=g(X)的分布函数FY(y)连续.图2-1说明了这个问题.扩展图2-1例17随机变量函数的分布关系(3)此题重点解决分段函数Y=g(X)的分布函数计算问题.通过对FY(y)求导,立即得到概率密度fY(y).(1)事件数量化引入随机变量,将试验结果以及随机事件数量化,从而可以广泛地利用数学分析的知识来分析问题和解决问题.(2)综合交叉分析存在既非离散型随机变量又非连续型随机变量的随机变量.三、学习与研究方法(3)改变定义或定理条件如果改变分布函数F(x)=P{X≤x}的定义,例如,定义随机变量X的分布函数为F0(x)=P{Xx},那么分布函数F0(x)会出现许多与分布函数F(x)=P{X≤x}不同的结论.二者关系是F(x)=F0(x)+P{X=x}.下页返回上页下页返回*第二章随机变量及其分布习题课(下)习题课二分为上、下两部分.在下部分中,在“例题分类解析”部分,讲解了:3.连续型随机变量概率密度及其分布问题;4.关于正态分布的应用问题;5.随机变量的分布函数问题;6.随机变量函数的概率分布问题.三、学习与研究方法.在上部分中,我们归纳了第二章的概念、理论与方法等内容,并对关键而又容易出错的地方作了讲评.在“例题分类解析”部分,讲解了:1.离散型随机变量的分布律的计算问题;2.根据概率分布求解概率的问题.习题课(下)内容简介:3.连续型随机变量概率密度及其分布问题例8确定常数c,使如下函数成为某个随机变量的概率密度.本题涉及到连续型随机变量的概率密度的性质——非负性和归一性.逻辑上是应用定理:如果某函数满足非负性和归一性,那么它可以作为某个随机变量的概率密度.分析解令得到c=1.显然,非负性g(x)≥0(x∈(-∞,+∞))满足.所以,函数g(x)在c=1条件下可以作为某个随机变量的概率密度.讲解度,用性质f(x)≥
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