2024-2025学年贵州省遵义市高三上学期第四次月考（12月）数学检测试题（附解析）.docx

2024-2025学年贵州省遵义市高三上学期第四次月考（12月）

数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知复数满足，则（）

A． B． C． D．1

2．已知集合，，则（）

A． B． C． D．

3．已知向量，，若，则（）

A． B． C． D．0

4．已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数（估计值）分别为（）

A．200，24 B．200，28 C．100，24 D．100，28

5．若函数的图象在点处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则（）

A． B． C． D．1

6．已知，均为等差数列，且，，则数列的前9项和为（）

A．45 B．50 C．54 D．60

7．已知是抛物线上的动点，是抛物线的准线上的动点，，则的最小值是（）

A．5 B．4 C． D．

8．如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，则三棱锥外接球的体积为（）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（）

A． B． C． D．

10．已知函数，则（）

A．为奇函数 B．的最大值为

C．的最小正周期为 D．的图象关于直线对称

11．笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出．如图，叶形线经过点，点Px0,y0在C

A．直线与C有3个公共点 B．若点P在第二象限，则

C． D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．在的展开式中，的系数为.

13．已知，，，，则.

14．已知是定义在上的奇函数，且当时，.若，，则的取值范围为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．记的内角，，的对边分别为，，，已知.

(1)证明：是等腰三角形.

(2)若，求的最大值.

16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，E为线段PC上一点，，且该四棱锥的体积为.

(1)求AE的长度；

(2)求二面角的正弦值.

17．某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分．所有的题答错都不扣分．已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为，高级编程题每题答对的概率为，且各题答对与否互不影响．

(1)求甲同学初赛被淘汰的概率；

(2)已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期望．

18．已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：．

19．已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集.

(1)求函数在上的不动点集；

(2)若函数在上有且只有一个不动点，求的取值范围；

(3)若函数在上的不动点集为，求的取值范围.

答案

1．【正确答案】B

【详解】因为，所以.

故选：B

2．【正确答案】B

【详解】由，所以.

所以.

故选：B

3．【正确答案】A

【详解】因为，，所以，

又，所以，解得.

故选：A

4．【正确答案】D

【详解】样本量为，

抽取的初中生人数为，

所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为.

故选：D

5．【正确答案】D

【详解】由，得，，

则的图象在点处的切线方程为，

由题意可知，

将代入切线方程，得，将代入切线方程，得，

因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，

所以，解得或，

当时，切线经过第一、三、四象限，符合题意；

当时，切线经过第一、二、三象限，不符合题意.

故.

故选：D

6．【正确答案】C

【详解】因，均为等差数列，且，，可得的公差为，

则，

而的前9项和为

.

故选：C.

7．【正确答案】A

【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为，

当时，的值最小，此时，由抛物线的定义，可得PM=PF，

则.

故选：A.

8．【正确答案】D

【详解】因为为直角三角形，其外接圆圆心为的中点，

设的中点为，过作平面的垂线与交于点，

为三棱锥外接球的球心，，

三棱锥外接球的体积为.

故选：D

9．【正确答案】ABC

【详解】首先，各选项给出的函数定义域均为.

对A：，，所以成立，故A符合题意；

对B：