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调和点列在平面几何中的应用

调和点列在几何证明中有着十分广泛的应用，它与梅尼劳斯定理、极线都有着十分密切的关联。下面先给出调和点列的定义：

定义：直线上依次四点A、B、C、D满足，则称A、B、C、D四点构成调和点列。

由交比的定义：交比（A、B、C、D）=

知A、B、C、D四点构成调和点列的充要条件是交比（A、C、B、D）=-1

调和点列具有以下常用性质：

性质1：在梅尼劳斯图形中，三角形ABC被直线DEF所截，BE、CD交与点G，AG的延长线交BC与点H，则B、H、C、F成调和点列

证明：由塞瓦定理，，故

由梅尼劳斯定理，，故

所以由定义知，B、H、C、F成调和点列

性质2：若A、B、C、D成调和点列，O为平面上一点，则任意一条直线截OA、OB、OC、OD得到的四个点也成调和点列。我们称由O发出的4条射线OA、OB、OC、OD为调和线束。

这是调和点列的一个重要性质。

证明：如图，设直线l交OA、OB、OC、OD于E、F、G、H

过A作l的平行线交OB、OC、OD于B1、C1、D1

由平行线分线段成比例知交比（E、G、F、H）=交比（A、C1、B1、D1）

由梅尼劳斯定理，，

所以交比（A、C1、B1、D1）==交比（A、C、B、D）=-1

故交比（E、G、F、H）=-1

即E、F、G、H成调和点列。证毕

性质3：如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆O与D、F，交BC与点E则A、D、E、F四点调和

证明:

①

又

而

故①成立。得证！

注：本题说明，过圆所在平面上任意一点的直线与圆的两个交点、与此点关于圆的极线的交点、此点本身四点构成调和点列。

事实上，可以将此性质中的圆推广为一般的二次曲线

由此我们想到调和点列的性质5

为此我们取点E使B、D、C、E四点成调和点列

由性质五，下只要证

注意到，只要证P、M、H、E四点共圆即DM*DP=DH*DE①

设K与D为内切圆上的两个对径点，则

从而所以DM*DP=MH*KD=r*AH（r为内切圆半径）②

由B、D、C、E成调和点列知：

所以又

而

=DH*DE③

由②及③知①成立，故从而//

取弧BC上的中点N，由1）知P、D、N共线

由引理：两圆内切于P，MN为其中一圆切线，切点为A，B为弧MN中点，则P、A、B共线易知结论成立

题2已知圆I内切于三角形ABC，切BC于点D，连AD，设E为AD上一点，连AD，设E为AD上一点，连BE、CE分别交圆I于M，N连BN、CM

求证：BN、CM、AD共点

证：

设FG交CB于点K

即K、B、D、C四点调和

由性质一，只要证K、M、N共线即可证明BN，CM，ED共点

反设KM交圆I与N’（除N外的一点）

CN’交BE于点L,LD交MN’于T，AD交MN’于T’

由K、B、D、C四点调和及性质2知K，M，T，N’四点调和

注意到A点极线过K，所以K点极线过A

又K点极线过D，故DA为点K关于圆I的极线

由性质3知K、M、T’、N’调和

故T=T’从而LD与AD重合即L与E重合，N与N’重合

矛盾！

故K、M、N共线原命题得证！

题3已知X为圆O外一点，过X作圆O的切线，切点为A、B过X作圆O的割线XCD满足CA与BD交于F，CD与AB交于G，BD与GX中垂线交于H求证：X、F、G、H四点共圆

证：

如图，易知X、D、G、C四点调和（由性质3）又

由性质5知FD平分

所以FGH的外接圆半径为，FXH的外接圆半径为

由H在GX的中垂线上知：HG=HX

又，所以FGH的外接圆半径等于FXH的外接圆半径

从而

若是前者，有GD=XD不可能！

故只能为从而F，G，H，X四点共圆//

在平面几何中，调和点列的应用是十分有用和广泛的，他与一些著名定理以及极线、反演等都有着密切的联系。此外，它还是射影几何学的一部分。