2024-2025学年江苏省南京市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析）.docx

2024-2025学年江苏省南京市高三上学期12月月考数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．设全集，集合，则集合中的元素的个数为（???）

A．3 B．4 C．8 D．16

2．复数z满足（i为虚数单位），则的值为（???）

A． B．5 C． D．

3．在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（???）

A． B． C． D．

4．已知，则（???）

A． B． C． D．

5．定义：对于数列，若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列．设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（）

A． B．

C． D．

6．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（???）

A． B． C． D．

7．若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（????）

A． B． C． D．1

8．已知，，，则（???）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知复数，下列结论正确的是

A．“”是“为纯虚数”的充分不必要条件

B．“”是“为纯虚数”的必要不充分条件

C．“”是“为实数”的充要条件

D．“”是“为实数”的充分不必要条件

10．已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（????）

A．双曲线的焦点到渐近线的距离为4

B．若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大

C．为定值

D．存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点

11．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（???）

A．是的一个周期 B．是奇函数

C．是偶函数 D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知集合，，且的非空子集的个数为3，则整数b的一个可能取值为．

13．若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值．

14．已知函数，，，且在上单调，则的值为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与直线的夹角的余弦值；

(3)求点到平面的距离．

16．在锐角中，内角的对边分别为，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．

17．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求的零点个数.

(3)在区间上有两个零点，求的范围?

18．已知椭圆（）的长轴为，短轴长为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线l：与椭圆交于不同两点；

①若，求直线的方程．

②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线.

19．在数列中，若满足：对于，都有，则称数列为“类差数列”.

(1)设为等差数列的前项和，已知，若数列是“类差数列”，且恒成立，求的最大值；

(2)已知等比数列是“类差数列”，且，数列不是“类差数列”，设，若数列是“类差数列”：

①求数列的通项公式；

②证明：数列中任意三项都不构成等差数列.

答案

1．【正确答案】B

【详解】因为，，所以或，

又因为，

所以，共4个元素，

故选：B

2．【正确答案】D

【详解】方法一：由题意：，

所以，所以.

故选：D

方法二：根据复数模的性质，得.

故选：D

3．【正确答案】A

【详解】由题意可知：，，，

且，

则，

，

所以向量在向量上的投影向量是.

故选：A.

4．【正确答案】C

【详解】由，

可得：，

即，又，

结合平方差公式可得.

故选：C

5．【正确答案】D

【详解】对于选项A：因为为等差数列，则，

可知对任意，当时，，

不满足有界数列的定义，故A错误；

对于选项B：因为，

则，

可知对任意，当时，，

不满足有界数列的定义，故B错误；

对于选项C：当为偶数时，，

可知对任意，当时，，

不满足有界数列的定义，故C错误；

对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列，

则，

可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确；

故选：D.

6．【正确答案】A

【详解】由条件可知，，，

且，两式相加得，

即，得，

点是直线和的交点，所以，

所以点满足直线，即直线方程为，

，与直线垂直的直线方程的斜率为，

所以中垂线方程为，整理为.

故选：A

7．【正确答案】C

【详解】如图：

取与的交点为，取中点，连接，交于点，

则三棱锥即为四面体与四面体的公共部分.

因为.

又，所以，所以.

过作于点，

因为平面，平面，所以.

因为，平面，所以平面.

所以为到平面的距离，其值为，

点为的中点，所以点到平面的距离为.

所以.

故选：C

8．【正确答案】B

【详解】因为，，则，，

可