2025年沪科版七年级数学寒假复习 专题03 一元一次方程.docxVIP

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专题03一元一次方程

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知识点1：方程

1.方程的有关概念

（1）定义：含有未知数的等式叫做方程．

注意：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一．是等式；二．是含有未知数．

（2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．

注意：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：

①．它（或它们）是方程中未知数的值；

②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．

（3）解方程：求方程的解的过程叫做解方程．

（4）方程的两个特征：方程是等式；方程中必须含有字母（或未知数）．

2.等式的性质

（1）等式的概念：用符号“＝”来表示相等关系的式子叫做等式．

（2）等式的性质：

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．即：

如果，那么（为一个数或一个式子）．

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．

即：如果，则；如果则

注意：①根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；

②等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立

③等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．

知识点2：一元一次方程及其解法

1.一元一次方程的有关概念

定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．

注意：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：

①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数．

2.解一元一次方程的一般步骤

变形名称

具体做法

注意事项

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

（1）不要漏乘不含分母的项（2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

（1）不要漏乘括号里的项（2）不要弄错符号

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)

（1）移项要变号（2）不要丢项

合并同类项

把方程化成的形式

字母及其指数不变

系数化成1

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．

不要把分子、分母写颠倒

注意：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．

（2）去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.

（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．

3.解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程

解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．

注意：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：

（1）当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.2.含字母的一元一次方程

此类方程一般先化为最简形式，再分三种情况分类讨论：

（1）当时，；（2）当时，为任意有理数；（3）时，方程无解．

知识点3：一元一次方程的应用

1.列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：弄清题意．

（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．

（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．

（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．

（5）检验、写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．

1.题型等量关系分析

（1）日历中的方程（掌握日历或卡片中的规律）

数列相邻之间相差7，横排相邻之间相差1，右对角线相邻差8，左对角线相邻相差6

（2）等积变形问题：

此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式．“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提．常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积．

（3）数字问题

要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系．列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.

（4）和、差、