2025年沪科版八年级数学寒假复习 专题03 一次函数.docxVIP

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专题03一次函数

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知识点1：正比例函数

1.正比例函数的定义

一般地，形如(k为常数，)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做.

注意：(1)正比例函数必须满足两个条件：

①比例系数,②自变量x的次数是.

(2)在判断一个函数是否是正比例函数时，只要看其是否满足()的形式即可；若求函数的解析式，只要求出比例系数k的值，解析式就可以确定了.

2.正比例函数的图像和性质

（1）正比例函数(k是常数，)的图象是一条经过与点的直线，我们称它为直线.其图象和性质如下表：

图象

经过象限

第象限

第象限

图象形状

从左向右

从左向右

增减性

y随x的增大而

y随x的增大而

①正比例函数()中，越大，直线越靠近轴，即直线与x轴正半轴的夹角；越小，直线越靠近轴，即直线与x轴正半轴的夹角.

②正比例函数的性质也可以逆用，如当正比例函数()中y随x的增大而增大时，,反之，;若正比例函数的图象过第一、三象限，则k0等。

（2）正比例函数图象的简单画法

由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系中，画正比例函数的图象时，描出原点和(1,k),过这两点的直线就是正比例函数()的图象.

知识点2：一次函数

1.一次函数的定义

一般地，形如(，是常数，)的函数，叫做一次函数。当b=0时，即，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。

2.一次函数的图象和性质

一般地，一次函数(，是常数，)的图象也是一条直线，我们称它为直线(),其图象与性质如下表：

图象

经过象限

第象限

第象限

第象限

第象限

图象形状

从左向右上升

从左向右下降

增减性

随的增大而增大

随的增大而减小

注意：直线与轴交于点,与轴交于,其中叫做直线在轴上的截距。截距不是距离，是直线与轴交点的纵坐标。因此，截距可正，可负，也可为0。

3.一次函数图象的平移

(1)一次函数的图象是经过点和直线重合或的一条直线.

(2)一次函数的图象可以看成由直线平移个单位长度得到(当时，向平移；当时，向平移)。

4.用待定系数法求函数解析式

（1）待定系数法的定义：先设出函数，再根据条件确定解析式中未知的系数、从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。

正比例函数(是常数，)中有一个待定系数，只需要一个条件确定比例系数的值；一次函数(，是常数，)中有两个待定系数,,需要两个独立条件确定两个关于,的方程。

（2）用待定系数法求函数解析式的步骤

①设含有的解析式(看是正比例函数，还是一次函数);

②根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组；

③解方程(组),求出待定系数的值；

④将求出的待定系数代入所设的解析式，得所求解析式.

5.从函数的角度看解方程（组）与不等式（组）

（1）一次函数与一元一次方程的关系

因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为时，求自变量的值.

一元一次方程与一次函数的关系为：的解函数中，时的值函数的图象与轴交点的.

（2）一次函数与一元一次不等式的关系

因为任何一个以为未知数的一元一次不等式都能变形为或的形式，所以解一元一次不等式相当于在一次函数的值大于0或小于0时，求自变量的取值范围。一次函数与一元一次不等式或的关系为：

①的解集?中，时，自变量的取值范围.

②的解集?中，时，自变量的取值范围.

（3）一次函数与二元一次方程组的关系

①含有未知数和的两个二元一次方程组成的二元一次方程组对应两个一次函数，即对应。

②从“数”的角度看，解方程组就是求使得两个函数值相等的自变量的值以及此时的.

③从“形”的角度看