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专题38最值模型之瓜豆模型（原理）曲线
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）1
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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一
个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”
线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋
转、全等和相似。
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM：POAQ：AP1：2。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型如图，是圆上一个动点，为定点，连接，作⊥且，当点在圆上运动
1-2.POAAPAQAPAQAPPO
时，点轨迹是？
Q
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AOAM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQPO。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ90°且APkAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AMk:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠是定值）；②主动点、从
PAQ
动点到定点的距离之比是定量（：是定值）。
APAQ
分析：如图，连结AO，作∠OAM∠PAQ，AO:AMAP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。
（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但ABACAP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
（2）定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
P3,4PA2.8,0B5.6,0P
例1.（2024·河南南阳·三模）如图，点，半径为2，，，点是上的动点，
M
CMBAC
点是的中点，则的最小值为（）
．．．．
A1.5B2C2.5D3
【答案】A
OP
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