北京市丰台区2024-2025学年高三上学期1月期末练习数学试题【含答案解析】.docx

丰台区2024~2025学年度第一学期期末练习

高三数学

2025.01

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分选择题（共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解.

【详解】集合，，所以.

故选：B

2.复数（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的除法计算后可得正确的选项.

【详解】，

故选：D.

3.设，为非零向量，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B【解析】

【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.

【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，

故得不到，

若，则，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

4.已知数列的前n项和为，且，，则（）

A.7 B.13 C.18 D.63

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意判断得数列为等比数列，进而得到其基本量，从而利用等比数列的求和公式即可得解.

【详解】因为，，

所以数列为等比数列，公比，

又，解得，

所以.

故选：A

5.下列函数中，满足“，”的是（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】对于ABD，求证函数为偶函数即可判断，；对于C，求证函数为奇函数即可判断.

【详解】对于A，函数定义域为R，且对任意有，函数为偶函数，

所以不存在，使得，故A不满足；

对于B，函数定义域为R，且对任意有，函数为偶函数，

所以不存在，使得，故B不满足；

对于C，函数定义域为R，且对任意有，函数为奇函数，

如，即

所以，，故C满足；

对于D，函数定义域为R，且对任意有，函数为偶函数，

所以不存在，使得，故D不满足.

故选：C.

6.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】设点坐标为，由，利用三角函数定义可得点Q的纵坐标.

【详解】设点的坐标为，由，

有，解得，

所以点的纵坐标为.

故选：C.7.如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（）

A.1 B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，取中点，连接，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得平面平面，则点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离，即可得到结果.

【详解】

取中点，连接，

因为与都是边长为2的等边三角形，

所以，，

且，平面，

所以平面，且平面，所以平面平面，

所以点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离，

过点做，所以点P到直线的距离即为，

又，且，所以为等边三角形，

所以，

即点P到平面ABC的距离为.

故选：C8.溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）.室温下，溶液中氢离子和氢氧根离子的浓度之积为常数，即，其中表示溶液中氢氧根离子的浓度（单位：）.室温下，某溶液的pH值为1，若加水稀释后，该溶液的pH值变为2，则稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为（）

A. B.2 C. D.10

【答案】D

【解析】

【分析】利用pH的计算公式可求得溶液稀释前后的氢离子的浓度，再利用即可求得稀释前后的氢氧根离子的浓度，即可求得稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值.

【详解】设稀释前氢离子和氢氧根离子的浓度分别为，，稀释后氢离子和氢氧根离子的浓度分别为，，

因为稀释前溶液的pH为1，所以，所以，

又因为，所以；

因为稀释后溶液的pH为2，所以，所以，

又因为，所以，

所以稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为.

故选：D.

9.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（）

A.4 B.3 C.2 D.1

【答案】C【解析】

【分析】由直线的方程判断两直线垂直，确定P点的轨迹方程，数形结合，即可求得答案.

【详解】由题意知直线与直线，满足，

故两直线垂直，

直线过定点，直线过定点，

故两直线的交点P在以AB为直径的圆上（不含点），

该圆方程为，设其圆心为，半径为3，

则，当且仅当共线