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三台机床需不需要工人照看是相互独立的,因此应按照事件的独立性去考虑.注意此题没有明确指出独立性条件.分析设Ai表示{第i台机床需要照看}(i=1,2,3),A表示{没有一台机床需要照看},B表示{至少有一台机床不需要照看},C表示{至多有一台机床需要照看}.于是由A1,A2,A3相互独立,得到解也相互独立.(1)(2)(3)(1)本题考查相互独立与对立事件的知识点.讲评(2)处理有关“至少”或“至多”的问题时,常考虑它的对立事件,用对立事件概率公式去解决.在实际应用中,判断事件是否相互独立,一是审查题目是否已经给出独立条件,二是根据一事件的发生是否影响另一事件的发生来判断.此题属于后者.扩展例12三个人独立地去破译一份密码.
已知各人能破译出的概率分别为,
问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?本题主要考查学生对一般加法公式的应用以及对“至少”事件和独立性的理解能力.分析解由独立性可知B表示{至少有一人能译出密码}.设Ai表示{第i人能译出密码}(i=1,2,3),由已知条件可知方法一:由于第六节定理3得到也相互独立.于是,相互独立,由第一章因方法二:讲评也相互独立.中很容易漏掉最后一项.第二种方法较第一种方法简单一些,但应注意当相互独立时本题第一种方法易犯的错误是,在使用概率的一般加法公式时,没有注意事件不是互不相容的,在公式扩展事件的和与独立性结合的关系,可以推广到四个和四个以上的事件的情形.例如,上式可以推广到n个事件情形.去计算较为方便.时,常常考虑它的对立事件.用公式在对“至少”或“至多”事件的考查由于A的概率不等于0和1,故题中两个条件概率都存在.例13设A,B是任意两个事件,其中A的概率不等于0和1,证明事件A与B独立的充分必要条件是6.证明题分析A与B相互独立利用条件概率公式及P(A)=1进行推导.证,由条件概率公式、差事件概率公式和对立事件概率公式得到已知必要性:充分性:,移项得化简得P(AB)=P(A)P(B),因此A和B独立.与B也因事件A与B独立,知事件A从而独立,因此讲评(2)考查条件概率公式和差事件的概率公式应注意而不是本题综合考查了相互独立与条件概率之间的运算联系,以及差事件概率公式扩展同时独立或同时即A与B,A与与B,与(1)本题考查事件的独立性定理:不独立.例14设0,试证:分析通常用逆推法分析:若不等式成立,则即P(AB)≥P(A)-1+P(B),P(A)P(B|A)≥P(A)-P(可以得到P(A)+P(B)-P(AB)≤1,?得到P(≤1.)证因为P(A∪B)≤1,由概率一般加法由乘法公式得到,P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)≤1.移项,有P(A)P(B|A)≥P(A)-[1-P(B)].于是P(A)P(B|A)≥P(A)-P因为P(A)0,所以≥本题考查条件概率公式及一般加法概率公式,考查读者分析问题和逻辑推理能力.讲评公式,得到P(A)+P(B)-P(AB)≤1.本题考查了和事件概率与条件概率的综合应用,在方法上本题分析采用了逆推法,即从结论出发看推导的条件是否与定理、性质已知条件相符合.一定要注意,在采用逆向分析推理时,正确的写法应该是:扩展欲使所证不等式成立,只需证明证逆推法分析和逆推法证明,在
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