湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 含解析.docx

湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期末考试

数学试题

一择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知等差数列则

A. B. C. D.

2.双曲线的渐近线方程是

A.

B.

C.

D.

3.已知过点的直线与曲线相切于点,则切点的坐标为

A.

B.

C.

D.

4.若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则

A. B. C. D.

5.现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有

A.10种 B.20种 C.30种 D.60种

6.已知等比数列中，公比,若,则

A.有最小值 B.有最小值

C.有最大值 D.有最大值

7.函数的最大值为

A. B. C. D.

8.函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是一对优美的双曲线.在数列中，,,记数列的前项积为,数列的前项和为,则当时

A. B. C. D.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知抛物线的焦点到准线的距离是4，直线过点且与交于

两点，为弦的中点，则下列说法正确的是

A.抛物线的焦点坐标是

B.

C.若,则

D.若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径

10.中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山.小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则

A.3人选择的地点均不同的方法总数为60

B.恰有2人选一个地方的方法总数为15

C.恰有1人选泰山的概率是

D.若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为

11.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是

A.第行的第个位置的数是

B.若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列则C.70在杨辉三角中共出现了3次

D.记第行的第个数为,则

选择题答题卡

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

得分

答案

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.用数学归纳法证明且,第一步要证的不等式是

13.已知为坐标原点，点,圆,点为圆上的一动点，则的最小值为

14.设函数若方程有三个实数根,,满足,则的取值范围是

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.(本题满分13分)

设的内角所对的边分别是,且是与的等差中项.

(1)求角;

(2)设,求周长的最大值，

16.(本题满分15分)

已知数列满足,且,在数列

中，,点在函数的图象上.

(1)求和的通项公式；

(2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列求数列的前项和.

17.(本题满分15分)

如图①，在等腰梯形中，分别为的中点，为的中点.现将四边形沿折起，使平面平面,得到如图②所示的多面体.在图②中：

(1)证明：;

(2)求平面与平面夹角的余弦值

18.(本题满分17分)

设,向量分别为平面直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量,且.(1)求点的轨迹的方程；

(2)设椭圆,曲线的切线交椭圆于两点，求证：为坐标原点)的面积为定值

19.(本题满分17分)

若,都存在唯一的实数,使得则称函数存在源数列已知.(1)证明：存在源数列；

(2)(i)若恒成立，求的取值范围；

(ii)记的源数列为证明：的前项和.

湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期末考试数学参考答案

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

C

A

D

C

B

D

A

1.B【解析】由可得公差,故,故选:B.

2.C【解析】在双曲线中,,,因此,该双曲线的渐近线方程为.故选:C.

3.A【解析】设切点坐标为,由,得,则过切点的切线方程为,

把点(-1,0)代入切线方程得,,即,

又,所以,则,则切点坐标为(0,1).故选:A.

4.D【解析】由的展开式中只有第7项的二项式系数最大,得展开式共有13项,所以.故选:D.

5.C【解析】4个同学站成一排有5个空,甲加入排列有5种情况,队列变成5个人有6个空,乙加入排列有6种情况