2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高三上学期12月联考数学检测试题（附解析）.docx

2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高三上学期12月联考数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．设全集，则图中阴影部分表示的集合为（????）

????

A． B． C． D．

2．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（????）

A． B． C． D．

3．已知（）的展开式中的第7项为7，则实数的值为（）

A．1 B．3 C．7 D．

4．已知，则（????）

A． B． C． D．

5．函数，则y=fx的部分图象大致形状是（）

A．?? B．??

C．?? D．??

6．已知数列的首项，且满足，则的值为（????）

A． B． C． D．

7．若，则下列大小关系正确的是（????）

A． B．

C． D．

8．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是（）

A． B． C． D．2

二、多选题（本大题共3小题）

9．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星分，二星分，三星分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图.根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法正确的是（）

A．的值是

B．随机抽取名观众，则不一定有人评价五星

C．若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则

D．若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件

10．已知圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（????）

A．椭圆C的长轴长为2 B．椭圆C的短轴长为2

C．椭圆C的离心率为 D．点P的坐标为

11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（????）

A．若平面是面积为的等边三角形，则

B．若，则

C．若，则球面的体积

D．若平面为直角三角形，且，则

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知是虚数单位，复数的虚部为.

13．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为.

14．将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（）的长直角边与含45°角的三角板（）的斜边恰好重合.与相交于点，若，则.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知数列满足：且，.

(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)若，求的值.

16．已知双曲线：经过点，离心率是，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.

(1)求直线斜率的取值范围；

(2)设点，直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，请说明理由.

17．如图在三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，.

(1)求棱锥的体积；

(2)若为棱的中点，求二面角的正弦值.

18．现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.

(1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；

(2)有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如下：

1

2

3

4

5

232

94

57

44

23

经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程，并顶测第7轮成功的人数（精确到1）；

(3)证明：（其中且）.

附：回归方程系数：；

参考数据：设，.

19．拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，并且当函数单调递增时，.

(1)试探究集合和的关系，并证明你的结论.

(2)函数.

①若的“不动点”有两个，求的取值范围；

②若（），讨论集合的子集的个数