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2024-2025学年河南省开封市高二上学期12月月考数学检测试题
一、单选题(本大题共8小题)
1.在数列中,,则()
A. B. C.16 D.32
2.已知直线在轴上的截距是,其倾斜角是直线的倾斜角的2倍,则()
A. B. C. D.
3.顶点在原点,关于轴对称,并且经过点的抛物线方程为(????)
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为,若,则的最大值为()
A.2 B.4 C.6 D.8
5.已知数列中,,则数列前2024项的和为()
A.0 B.1012 C.2024 D.4048
6.《九章算术》中有问题:“今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺,莞第一天长高一尺,以后蒲每天长高为前一天的一半,莞每天长高为前一天的两倍,要使莞的长度大于蒲的长度(蒲与莞原先的长度忽略不计),需要经过的时间最少为(????)
A.3天 B.4天 C.5天 D.6天
7.记曲线围成的平面图形的面积为,曲线围成的平面图形的面积为,则(????)
A. B. C.16 D.
8.已知抛物线的准线交轴于点,过点作直线交于两点,且,则直线的斜率是(????)
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共3小题)
9.下列数列中,为递增数列的是()
A. B. C. D.
10.如图,在正方体中,为底面的中心,分别为的中点,点满足,则()
A.平面 B.平面
C. D.四点共面
11.已知为圆上任意一点,,线段的垂直平分线交直线于点,记点的轨迹为曲线,设在曲线上,且,则()
A.曲线的方程为
B.曲线的离心率为
C.经过且与曲线只有一个公共点的直线恰有两条
D.四边形面积的最小值为8
三、填空题(本大题共3小题)
12.如图,若三棱柱的所有棱长都是,是棱的中点,则两点之间的距离等于.
13.若数列满足,且为其前项和,则的最小值为.
14.已知抛物线为抛物线上任意一点,过点向圆作切线,切点分别为,则的最小值为.
四、解答题(本大题共5小题)
15.已知是数列的前项和,若是等差数列,.
(1)求;
(2)求数列的通项公式.
16.如图,在三棱台中,平面是边长为2的正三角形,.
(1)求证:;
(2)求与平面所成角的正弦值.
17.已知椭圆的离心率为,左焦点为是上任意一点,且的最大值为3.
(1)求的方程;
(2)设的右顶点为,直线的方程为,若直线交于两点,求证:直线的斜率之和为,
18.设为抛物线的焦点,为上三个不同的点,且,.
(1)求的方程;
(2)设过点的直线交于两点.
①若直线交圆于两点,其中位于第一象限,求的最小值;
②过点作的垂线,直线交于两点,设线段的中点分别为,求证:直线过定点.
19.对于各项均为正数的无穷数列,若,都有,其中为非零常数,则称数列是数列.
(1)判断无穷数列和是不是数列?若是,求出相应的常数的值;若不是,请说明理由;
(2)若是数列,且,
①记的前项和为,求证:;
②对任意的正整数,设,求数列的前项和.
答案
1.【正确答案】D
【详解】,则,
则是公比为2的等比数列,
∴,
故选:D.
2.【正确答案】A
【详解】由直线在轴上的截距是,则直线过,可得,解得;
由直线,设该直线的倾斜角为,则,解得,
设直线的倾斜角为,斜率为,
由,则,
由,则,解得.
故选:A.
3.【正确答案】C
【详解】依题意,设抛物线方程为,
将代入得,则,
所以所求抛物线方程为.
故选:C.
4.【正确答案】B
【详解】是等差数列,则,,
要使得最大,则,
此时,当且仅当时取等号,
故选:B.
5.【正确答案】C
【详解】由题意可得,,,,,…
则可得下表:
易知数列存在周期性,最小正周期为,
由,则.
故选:C.
6.【正确答案】A
【详解】由题意,蒲第一天长高三尺,以后蒲每天长高前一天的一半,
所以蒲生长长度构成首项为,公比为的等比数列,
其前项和为,
又由莞第一天长高一尺,每天长高前一天的两倍,
则莞生长长度构成首项为,公比为的等比数列,
其前项和为,
由题意得,即,则,
令,则,,解得,即,
又,,所以需要经过的时间最少为3天.
故选.
7.【正确答案】D
【详解】对于曲线,
当,时,曲线;
当,时,曲线;
当,时,曲线;
当,时,曲线;
因为,所以,不同时为0,
画出曲线的大致图象,如图,
则曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆,
故面积为,故A正确;
对于曲线,
当,时,曲线;
当,时,曲线;
当,时,曲线;
当,时,曲线;
则曲线围成的面积为上图虚线围成的边长为的正方形,
故面积为,
所以.
故选:D.
8.【正确答案】B
【详解】因为抛物线
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