实验四导数应用.pptVIP

MATLAB高等数学实验

实验四

导数应用实验目的理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法。进一步熟悉和掌握用MATLAB做平面图形的方法和技巧，掌握用MATLAB求方程的根（包括近似根）和求函数极值（包括近似极值）的方法。

4.1学习MATLAB命令

用MATLAB求多项式方程的解的命令是roots，使用方法为：roots（c）其中c是上述方程左端多项式的系数向量0103024.1.1求多项式方程近似根的命令

4.1.2求方程f(x)=0近似根的命令命令的一般形式如下：(1)建立函数： f=inline(表达式)(2)求函数零点： c=fzero(f,[a,b]) %求函数f(x)在区间[a,b]内的零点c c=fzero(f,x0) %求函数f(x)在x0附近的零点c

4.1.3求非线性函数f(x)的极小值用MATLAB求一元函数极小值命令是fminbnd，格式如下：(1)x=fminbnd(fun,x1,x2)(2)[x,fav1]=fminbnd(fun,x1,x2)(3)[x,fav1,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2)其中：x=fminbnd(fun,x1,x2)是求(x1,x2)上fun函数的最小值x。[x,fav1]=fminbnd(fun,x1,x2)返回解x处目标函数的值。[x,fav1,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2)返回包含优化信息的结构输出。

注(1)函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，要求目标函数必须是连续函数，此命令可能给出局部最优值。注(2)命令fminbnd是求函数f(x)的极小值，若要求函数f(x)的极大值，只需求-f(x)的极小值即可。

4.2实验内容

4.2.1求函数的单调区间【例1】求的单调区间。输入： symsx dy=diff(x^3-2*x+1)执行后得到函数的一阶导数： dy= 3*x^2-2输入： x=-4:0.1:4; y1=x.^3-2*x+1; y2=3*x.^2-2; plot(x,y1,k-,x,y2,b*)其输出如图4-1，其中米字线是导函数的图形。

图4-1

观察函数的增减与导函数的正负之间的关系。输入： c=roots([3,0,-2])得到导函数的两个零点为：c= 0.8165 -0.8165因为导函数连续，在它的两个零点之间，导函数保持相同符号。因此，只需在每个小区间上取一点计算导数值，即可判定导数在该区间的正负，从而得到函数的增减。再输入： x=-1; daoshuzhi=eval(dy) x=0; daoshuzhi=eval(dy) x=1; daoshuzhi=eval(dy)

输出： daoshuzhi= 1 daoshuzhi= -2 daoshuzhi= 1说明导函数在区间(-∞,-0.8165),(-0.8165,0.8165),(0.8165,+∞)上分别取+，-，+。因此，函数在区间(-∞,-0.8165]和[0.8165,+∞)上单调增加，在区间[-0.8165,0.8165]上单调减少。

4.2.2求函数的极值【例2】求函数的极值输入： ezplot(x/(1+x^2),[-6,6])如图4-2所示。观察它的两个极值，输入： f=x/(1+x^2); [xmin,ymin]=fminbnd(f,-10,10)输出： xmin=-1.0000 ymin=-0.5000表明x=-1是极小值点，极小值为-0.5。

图4-2

接下来将求极大值的问题转换为求极小值，输入：f1=-x/(1+x^2);[xmax,ymax]=fminbnd(f1,-10,10)输出：xmax=0000ymax=0.5000注意f=-f1，所以x=1是极大值点，极大值为-(-0.5)=0.5。

4.2.3求函数的凹凸区间和拐点【例3】求函数的凹凸区间和拐点。输入： symsx y=1/(1+2*x^2); y1=diff(y,x) y2=diff(y,x,2)执行后得到函数的一阶、二阶导数分别为： y1=-(4*x)/(2*x^2+1)^2 y2=(32*x^2)/(2*x^2+1)^3-4/(2*x^2+1)^2

再输入： x=-3:0.1:3; y=(1+2*x.^2).^(-1); y1=-4*x.*((1+2*x.^2).^2).^(-1); y2=32*(x.^2).*((1+2*x.^2).^3).^(-1)-... 4*((1+2*x.^2).^