2025年沪科版七年级数学寒假复习 专题01 有理数.docxVIP

PAGE

PAGE1

专题01有理数

考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

知识点1：有理数的概念与性质

1.有理数的概念：能够化成分数形式的数称为有理数，不能化成分数的形式的数称为无理数。

（1）非负数：指正数和0；非正数：指负数和0；

2.有理数的分类

（1）按定义分：（2）按性质分：

3.带“非”字的有理数

（1）非负数：指正数和0；非正数：指负数和0；

（3）非负整数：是指正整数和0；非正整数：是指负整数和0.

4.数轴

（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度；

（2）数轴上的点表示有理数：

①有理数都可以在数轴上进行表示，数轴上的点并不都是有理数；

②用数轴表示有理数时，先在数轴上用实心点标出来，再在数轴的上方表示出有理数；

③表示有理数时，对含有多重符号或绝对值的有理数不要化简；

④同时表示多个有理数时，不要遗漏，同时要求排序的，不要忘记从小到大或从大到小进行排序。

（3）数轴上表示两点之间的距离：用右边点表示的有理数减去左边点表示的有理数。

（4）数轴上表示动点对应的数：先找到动点的起始点对应的有理数，在计算出动点运动的路程，如果动点向右运动，则用起始点对应的有理数加上动点运动的路程；如果动点向左运动，则用起始点对应的有理数减去动点运动的路程。

（5）数轴上a和b两点中点对应的数可表示为。

5.相反数

（1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数。注意：与互为相反数，与互为相反数。

（2）相反数的性质：互为相反数的两个数和为0，不为0的两个相反数相除的结果为（-1）.

（3）多重符号的化简：多重符号的化简要看负号的个数，如果绝对值的前面有偶数个负号，则化简的结果为正；如果绝对值的前面有奇数个负号，则化简的结果为负，即偶正奇负。

6.绝对值

（1）绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，称为a的绝对值，记为。

（2）绝对值的代数意义：正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对等于它的相反数。

（3）绝对值的非负性：任何一个数的绝对值都大于等于0，即。

（4）两点间的距离：数轴上表示数a的点为A，表示数b的点为B，则A与B之间的距离可表示为。

（5），当时，；当时，；

知识点2：有理数的运算

1.有理数的加减法

（1）有理数的加法：同号两数相加，取与加数相同的符号作为和的符号，再把他们的绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值。即：若；若；若；

若。

（2）有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即；

（3）有理数加法运算律：（交换律）；（结合律）

2.有理数的乘除法

（1）有理数的乘法：同号得正，异号得负，再把它们的绝对值相乘，即若；

若；若；若。

（2）倒数：乘积为1的两个数互为倒数，即若，则与互为倒数；倒数的求解：将一个数的分子和分母颠倒即可，即的倒数为。

（3）有理数的除法：同号得正，异号得负，再把它们的绝对值相除，或者除以一个数等于乘以这个数的倒数，即。

（4）有理数乘法的运算律：（交换律）；（结合律）；（分配律）。

3.有理数的乘方

（1）有理数乘方的定义：；其中叫作底数，叫作指数。

（2）底数为负数或分数时，底数要加括号。例如表示个相乘，表示个2相乘的相反数。

（3）正数的次方为正，负数的偶次方为正，负数的奇数次方为负；的偶次方为1，的奇数次方为。即，。

4.科学记数法

（1）把一个较大的数写成的形式，其中。

（2）的确定方法：

①整数数位减1；

②小数点移动法，即将小数点向左移动到第一个不是0的数后面，小数点移动几位，就等于几。

5.有理数的混合运算

在有乘方运算的有理数混合运算中，先对乘方进行运算，再对乘除法进行运算，最后计算加减法，有括号的，先算括号里的。

题型归纳

【考点01相反意义的量】

1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升50米，记作米，则水位下降30米，记作米．

【答案】

【解析】解：若水位上升50米，记作米，则水位下降30米，记作米，

故答案为：．

2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向东运动，那么表示．

【答案】这个物体向西运动

【解析】解：∵表示一个物体向东运动，

∴表示一个物体向西运动；

故答案为：这个物体向西运动．

3．（24-25七年级上·广东茂名·期中）某地提倡“节约用水，保护环境”，如果节约的水记为，那么浪费的水记为L．

【答案】

【解析】解：节约的水记为，

浪