2025年中考数学几何模型归纳训练（全国）专题36 最值模型之逆等线模型解读与提分精练（原卷版）.docxVIP

专题36最值模型之逆等线模型

最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 1

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 6

模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 9

模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 11

模型5.最值模型-加权逆等线模型 14

19

模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）

逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。

逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。

条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。

证明思路：①AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF(SAS)；证出EF=CD；

④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线；

⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。

例1．（23-24九年级上·广东广州·期中）在等边三角形中，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，两点运动速度的大小相等，设，，y与x的函数图象如图，图象过点，则图象最低点的纵坐标是（????）

A． B． C． D．

例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D、E分别是AB、AC上两动点，且AD=CE，连接CD、BE，CD+BE最小值为．

??

例3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为．

例4．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为，的最小值为．

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）

条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。

证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；

③构造出△BEC≌△GFB(SAS)；证出EB=FG；

④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝

A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°

例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时，．

例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是．

模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）

条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE，

求CD+CE的最小值。

证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；

③构造出△BEC≌△ADF(SAS)；证出CE=FD；

④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线；

⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。

例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为．

??

例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是．

模型4.最值模型-逆等线模型（