河南省名校联盟【知识精研】高三上学期12月联考数学试卷（原卷版）.docx

2025届高三第一学期12月质量检测

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.

4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（）

A.（3，1） B. C. D.

2.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

3.曲线在处的切线经过点，则实数的值为（）

A. B.0 C.1 D.2

4.已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，体积是，则圆锥的底面半径为（）

A. B. C.2 D.3

5.函数值域是（）

A. B. C. D.

6.已知双曲线的离心率为，双曲线的一条渐近线与圆交于两点，则（）

A. B. C.3 D.

7.已知等差数列的前项和为，若，则（）

A. B. C. D.

8.已知函数为偶函数，当时，．若对任意恒成立，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（）

A B.

C. D.

10.如图，在中，平面，点在平面的同侧，，在平面内的射影的长分别为3，4，则（）

A.平面

B.

C.四棱锥的体积为D.平面与平面的夹角的正弦值为

11.在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（）

A.椭圆的离心率为

B.当时，

C.

D.当点在第三象限时，若，则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知向量的夹角为，若在方向上的投影向量为，则_____．

13.已知，则_____．

14.已知函数，若存在实数满足，则最大值为_____．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

15.在中，内角，，，所对边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，的面积为，求．

16.如图，在正方体中，为的中点，为的中点，是的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

17.在前项和为的等比数列中，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，记，求数列的前项和；

（3）若，记，且，求数列的通项公式．

18.已知函数，其中．

（1）当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围；

（2）若是函数的极小值点，求实数的取值范围．

19.已知抛物线（为正整数），为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，记点的纵坐标分别为（其中）．

（1）证明：成等差数列；

（2）若，记等差数列的公差为．

（i）用和表示；

（ii）初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支．初等数论中有如下定理：若两个正整数的最大公约数为1，且这两个正整数的乘积是某个正整数的平方，则这两个正整数都为完全平方数．请用该定理证明下面的问题：若为正奇数，为正整数，且这三个数两两之间的最大公约数都为1，证明：一定可以表示为某两个正整数的平方之和．