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17
专题全等三角形模型之奔驰模型
对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化,把其中的线段进行转移,以达到聚合条件,推出我
们想要的结论的目的。对于几何变化,目前学过的主要有:轴对称,平移,旋转,位似等。对于“奔驰模型”
我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理,我们主要分为:旋转全等,旋转相似。今天的这主要
讲“奔驰模型”之旋转全等类型。
大家在掌握几何模型时,多数同学会注重模型结论,而忽视几何模型的证明思路及方法,导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的,学数学更不能死记硬背,要在理解的基础之上再记忆,这样
才能做到对于所学知识的灵活运用,并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展,所以学生在学习几何模型要能够做到的就是:①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型;②记住结论,但更为关键的是记住证明思路及方法;③明白模型中常见的易错点,因
为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然,以上三点均属于基础要求,因为题目的多变性,若想在几
何学习中突出,还需做到的是,在平时的学习过程中通过大题量的训练,深刻认识几何模型,认真理解每
一个题型,做到活学活用!
2
模型1.奔驰模型1(点在等边三角形内)2
模型2.奔驰模型2(点在等腰直角三角形内)4
3.3-6
模型奔驰模型(点在三角形外鸡爪模型)
9
模型1.奔驰模型1(点在等边三角形内)
此模型通常会和旋转一起来考查,还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查,因为旋转的特
征是:共顶点等线段。等边三角形,三边相等,每一个顶点出发都有两个相等线段,都符合共顶点等线段。
等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。
条件:如图,已知正三角形内有一点P,满足222(常考数据:BP3,AP4,CP5),
PAPBPC
结论:∠APB150°。(注意该模型条件结论互换后依旧可以证明)
常用结论等边三角形的面积公式:S3AB2(选填题非常适用)
ABC
4
证明:以AP为边向左侧作等边三角形APP’,连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形;∴ABAC,APAP’PP’,∠BAC∠PAP’∠PP’A60°;
∴∠BAC-∠PAC∠PAP’-∠PAC,∴∠BAP∠P’AC,∴ABPACP,∴BPCP’,∠APB∠AP’C;
(SAS)
∵222,∴222,∴∠PP’C90°,
PAPBPCPPPCPC
∴∠AP’C∠PP’C+∠PP’A150°;∴∠APB150°。
注意:多线段共端点常考旋转。
ABCPB1.5PC2.5
例1.(23-24八年级下·广东深圳·期中)如图,点P是等边三角形内的一点,且PA2,,,
则APB的度数为.
OABCOA2OB1AOB
例.(湖南中考真题)如图,点是等边三角形内一点,,,,则
22022··OC3
与BOC的面积之和为()
3333
A.
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