（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测06 正余弦定理与解三角形（教师版）.docxVIP

第PAGE1页共

第PAGE1页共NUMPAGES55页

第06讲正余弦定理与解三角形

知识讲解

1.正弦定理

（1）基本公式：

（其中为外接圆的半径）

（2）变形

2.三角形中三个内角的关系

，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)

，，

3.余弦定理

（1）边的余弦定理

，，

（2）角的余弦定理

，，

4.三角形的面积公式

考点一、正弦定理边角互化与解三角形

【例1】在中，内角的对边分别是，若，且，则（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.

【详解】由题意结合正弦定理可得，

即，

整理可得，由于，故，据此可得，

则.故选：C.

【变式1】在中，内角的对边分别为.若，且，则

A．B．C．D．

【答案】A

【详解】边换角后约去sinB，得sin(A＋C)＝，所以sinB＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.

【变式2】在中，角的对边分别是，且，求角

【答案】

【分析】由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；

【详解】在中，由正弦定理得：，

而，所以，

化简得，因为，所以，，

即，所以，又因为，所以，即.

考点二、利用正弦定理判断三角形解的个数

【例2】根据下列条件，判断三角形解的情况，下列结论中正确的是（?????）

（1），，，有一个解.

（2），，，有两个解

（3），，，无解

（4），，，有一解

A．（1）（2）B．（2）（4）

C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（4）

【答案】D

【分析】由条件利用正弦定理求得角的正弦值，再根据大边对大角可得三角形解得个数，从而得出结论.

【详解】对于（1）：，，，由正弦定理得，解得，有唯一解，故（1）正确；

对于（2）：，，，由正弦定理得，解得，再由大边对大角可得CB,故C可以是锐角也可以是钝角，故三角形有2解，故（2）正确。

对于（3）：，，，则由正弦定理得，解得，再由大边对大角，可得C为锐角，故三角形有唯一解，故（3）不正确，

对于（4）：，，，由正弦定理得，解得，再由B为锐角，可得三角形有唯一解，故（4）正确，

故选：D.

【变式3】设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理计算可得；

【详解】解：由正弦定理，即，所以，

因为不唯一，即有两解，所以且，即，

所以，所以，即；故选：A

【变式4】中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案.

【详解】由正弦定理可得，.要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以.故选：B．

考点三、余弦定理求值

【例3】在中，，则（????）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.

【详解】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.

【变式5】在中，已知，，，则（????）

A．1B．C．D．3

【答案】D

【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.

【详解】设，结合余弦定理：可得：，

即：，解得：（舍去），故.故选：D.

【变式6】记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．求

【答案】

【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；

【详解】因为，由正弦定理可得，

所以，又，所以.

考点四、利用正余弦定理判断三角形的形状

【例4】在已知分别为的三个内角的对边，若，则是（????）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

【答案】C

【分析】由余弦定理求解即可.

【详解】由余弦定理可得，则为钝角，即是钝角三角形.故选：C

【变式7】设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（????）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能

【答案】A

【分析】根据余弦定理即可求解.

【详解】由余弦定理可得,故为锐角，由于，因此均为锐角，故为锐角三角形，故选：A

【变式