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大学微积分课件幻灯片版
目录CONTENTS微积分基本概念微分学基础积分学基础微分方程初步多元函数微积分学无穷级数初步
01微积分基本概念
0318-19世纪微积分的发展柯西、魏尔斯特拉斯等人对微积分进行了严格的定义和证明,使微积分学成为一门严谨的数学学科。01古代微积分思想的萌芽古希腊时期,阿基米德利用穷竭法计算面积和体积,已蕴含了微积分的思想。0217世纪微积分的创立牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分学,为现代数学和物理学的发展奠定了基础。微积分的起源与发展
微分是研究函数局部变化率的一种数学方法,通过求函数在某一点的导数来描述函数在该点的变化率。积分是研究函数整体性质的一种数学方法,通过求函数在某个区间上的定积分来描述函数在该区间的整体性质。微分与积分的定义积分的定义微分的定义
微分与积分的关系微分是求导的过程,而积分是求原函数的过程,两者在运算上互为逆运算。微分与积分的联系微分和积分都是研究函数性质的重要工具,它们之间有着密切的联系。例如,通过微分中值定理可以将微分和积分联系起来,建立了两者之间的桥梁。微分与积分的应用微分和积分在各个领域都有广泛的应用,如物理学、工程学、经济学等。通过微分和积分可以解决实际问题中的许多难题,如最优化问题、面积和体积计算等。微分与积分互为逆运算
02微分学基础
导数的定义通过极限的方式定义了函数在某一点处的导数,即函数在该点处的切线斜率。导数的基本性质包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数等。可导与连续的关系阐述了函数在某一点处可导与连续之间的关系,即可导一定连续,但连续不一定可导。导数的定义与性质
包括常数法则、幂函数法则、三角函数法则、指数函数法则等。微分的基本法则介绍了微分在四则运算中的性质,如微分的线性性质、乘积法则、商法则等。微分的运算规则通过实例展示了微分在解决实际问题中的应用,如求曲线的切线方程、求函数的极值等。微分的应用微分法则及运算
高阶导数的定义阐述了函数的高阶导数定义及其物理意义,如加速度是速度的一阶导数,而速度是位移的一阶导数。高阶导数的计算介绍了高阶导数的计算方法,包括逐次求导法、莱布尼兹公式等。高阶导数的应用通过实例展示了高阶导数在解决实际问题中的应用,如判断函数的凹凸性、求函数的拐点等。高阶导数及其应用
03积分学基础
不定积分的定义不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程,表达形式为∫f(x)dx=F(x)+C,其中C为常数。不定积分的性质包括线性性质、积分区间可加性、常数倍性质和积分与微分互逆性质。基本积分公式与法则包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的不定积分公式,以及分部积分法、换元积分法等基本积分法则。不定积分的概念与性质
定积分的性质包括线性性质、积分区间可加性、保号性、绝对值不等式和估值定理等。微积分基本定理建立了不定积分与定积分之间的联系,通过求原函数的方法简化定积分的计算。定积分的定义定积分是求一个函数在闭区间上的积分值,表达形式为∫[a,b]f(x)dx,表示函数f(x)在区间[a,b]上的面积。定积分的概念与性质何应用物理应用经济应用其他应用积分的应用举例包括求平面图形的面积、曲线的弧长、旋转体的体积等。包括求变力做功、液体的压力、质心与形心等。如概率论中的期望与方差计算,以及工程领域中的最优化问题等。包括求总收益、总成本、边际收益、边际成本等经济量,以及解决最值问题。
04微分方程初步
微分方程的定义描述未知函数与其导数之间关系的方程微分方程的阶未知函数导数的最高阶数线性与非线性微分方程根据未知函数及其导数的次数划分微分方程的基本概念030201
可分离变量法通过变量分离,将微分方程转化为可积分的形式一阶线性微分方程法利用积分因子,将一阶线性微分方程转化为可积分的形式齐次方程法通过变量替换,将齐次方程转化为可分离变量的形式一阶微分方程及其解法
二阶线性微分方程具有常系数的二阶线性微分方程的通解结构振动与波动方程描述振动与波动现象的二阶线性微分方程欧拉方程通过变量替换,将欧拉方程转化为二阶线性微分方程进行求解高阶微分方程的降阶法通过变量替换或积分法,将高阶微分方程降阶为一阶或二阶微分方程进行求解二阶微分方程及其解法
05多元函数微积分学
010203多元函数的定义设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合,$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x1,x2,…,xn)∈D$,通过对应规则$f$,都有唯一确定的实数$y$与之对应,则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数的表示方法多元函数可用记号$f(x1,x2,…,xn)$或$z=f(x,y,…,u,v)$等表示,其中$x1,x2,…,xn$是自变量,$z$是因变量。多元函数的定义
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