2025年北师版八年级数学寒假预习 第10讲 不等关系 不等式的基本性质、解集.docxVIP

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第10讲不等关系不等式的基本性质、解集

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．了解不等式的概念；

2．会根据实际问题或数学语言列不等式；

3.掌握不等式的基本性质及应用；

4.知道不等式的解及解集.

知识点1不等式的概念

一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

要点：

(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．

(2)五种不等号的读法及其意义：

符号

读法

意义

“≠”

读作“不等于”

它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小

“＜”

读作“小于”

表示左边的量比右边的量小

“＞”

读作“大于”

表示左边的量比右边的量大

“≤”

读作“小于或等于”

即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量

“≥”

读作“大于或等于”

即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量

(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．

知识点2不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．

不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．

要点：

对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：

(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．

(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．

知识点3不等式的解及解集

1.不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

2.不等式的解集：

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．

要点：

不等式的解

是具体的未知数的值，不是一个范围

不等式的解集

是一个集合，是一个范围．其含义：

①解集中的每一个数值都能使不等式成立；

②能够使不等式成立的所有数值都在解集中

考点一:判断不等式

例1．在下列数学表达式中，不等式的个数是（）

①；②；③；④；⑤．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【变式1-1】．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式1-2】．在下列数学表达式中，属于不等式的是．

①；②；③；④．

【变式1-3】．有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有个．

考点二:实际问题中的不等式的含义

例2．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（）

A．每100克内含钙150毫克

B．每100克内含钙不低于150毫克

C．每100克内含钙高于150毫克

D．每100克内含钙不超过150毫克

【变式2-1】．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（????）

A． B． C． D．

【变式2-2】．2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.5亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（）

A． B． C． D．

【变式2-3】．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（???）

A． B． C． D．

考点三:列不等式

例3．x与y的差为负数，用不等式表示为（????）

A． B． C． D．

【变式3-1】．用不等式表示：

（1）与的差为非负数：；

（2）a与b的的和不超过2：．

【变式3-2】．a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为．

【变式3-3】．下面列出的不等式中，正确的是（????）

A．a不是负数，可表示成 B．x不大于