8.4.2(1) 因式分解-----公式法 课件（27张PPT） 2025年数学沪科版七年级下册229.pptx

第八章整式乘法与因式分解8.4因式分解8.4.2公式法（运用完全平方公式和平方差公式）

学习目标1.完全平方公式和平方差公式，理解其形式和特点.2.掌握完全平方公式和平方差公式分解因式的方法，能正确运用其进行多项式的因式分解．(重点、难点)

知识回顾1.什么叫多项式的因式分解?把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？它们有什么关系？（1）a(x+y)=ax+ay（2）ax+ay=a(x+y)整式乘法因式分解它们是互为方向相反的变形.

知识回顾3.已学过哪种因式分解的方法？提公因式法4.回忆完全平方公式和平方差公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a-b)(a+b)=a2-b2完全平方公式平方差公式

a米b米b米a米(a-b)米a2-b2=(a+b)(a-b)新课导入如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？

想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式.))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：讲授新知

讲授新知这样就可以把形如完全平方式的多项式因式分解.a22abb2±.+.=（a±b)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.类比平方差公式，把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.

讲授新知1.用平方差公式进行因式分解a2-b2=(a+b)a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)22.用完全平方公式进行因式分解运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做公式法.

教材例题例1把下列各式分解因式：（1）x2+14x+49;(2)9a2-30ab+25b2；解：x2+14x+49=x2+2·x·7+72=(x+7)2.解：9a2-30ab+25b2=(3a)2-2×3a×5b+(5b)2=(3a-5b)2.完全平方式的特点：（1）必须是三项式(或可以看成三项的)；（2）有两个同号的数或式的平方；（3）中间有两底数之积的±2倍.简记口诀首平方，尾平方，首尾两倍在中央.

教材例题例1把下列各式分解因式：（3）x2-81;(4)36a2-25b2.解：x2-81=x2-92=(x+9)(x-9).解：36a2-25b2=(6a)2-(5b)2=(6a+5b)(6a-5b).★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.

例2把下列多项式分解因式：（1）ab2-ac2;(2)3ax2+24axy+48ay2.(1)解：ab2-ac2=a(b2-c2)=a(b+c)(b-c).(2)解：3ax2+24axy+48ay2=3a(x2+8xy+16y2)=3a[x2+2·x·4y+(4y)2]=3a(x+4y)2.教材例题24a=3a×848a=3a×16（提取公因式）（用平方差公式）（提取公因式）（用完全平方公式）

教材例题解：3ax2+24axy+48ay2=3a(x2+8xy+16y2)=3a[x2+2·x·4y+(4y)2]=3a(x+4y)2.（提取公因式）（用完全平方公式）在因式分解的过程中,有时提取公因式与利用公式两种方法要同时使用.

例题解读例1分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)16x2=(4x)2,24x=2·4x·3,9=32,所以16x2+24x+9是一个完全平方式；(2)首项有负号，先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),再利用公式分解因式.解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2=(4x+3)2；(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4