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命题及其关系

北京四中侯彬

知识点一：命题的概念

回顾1：什么是命题？

例1．判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假.

（1）空集是任何集合的子集；

（2）若a//c，b//c，则a//b；

（3）若x2=1，则x=1；

（4）x5；

（5）难道正弦函数不是周期函数吗？

知识点二：命题的结构

回顾2：一种特殊形式的命题

例2.（1）若a//c，b//c，则a//b；

（2）若x2=1，则x=1.

例3.将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断其真假.

（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

（2）对角线相等的平面四边形是矩形.

解析：有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但适当的改写

后可以写成“若p，则q”的形式，那么就能很清楚地看出其条件和结论.

解：（1）“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”，真命题.

（2）“若一个平面四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形”，

假命题.

知识点三：四种命题

四种命题

例4.给出如下四个命题：

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；若p，则q.

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；若q，则p.

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；若¬p，则¬q.

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（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.若¬q，则¬p.

分析：（1）与（2）、（3）、（4）的关系.

（2）的条件是（1）的结论，结论是（1）的条件；

（3）的条件是（1）的条件的否定，结论是（1）的结论的否定；

（4）的条件是（1）的结论的否定，结论是（1）的条件的否定.

四种命题

原命题“若p，则q.”逆命题“若q，则p.”

否命题“若¬p，则¬q.”逆否命题“若¬q，则¬p.”

例5写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假.

（1）若ab=0，则a2+b2=0；

（2）若x=1，则x2-3x+2=0；

（3）若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等.

解析：

（1）原命题：若ab=0，则a2+b2=0；假命题

逆命题：若a2+b2=0，则ab=0；真命题

否命题：若ab¹0，则a2+b2¹0；真命题

逆否命题：若a2+b2¹0，则ab¹0.假命题

（2）原命题：若x=1，则x2-3x+2=0；真命题

逆命题：若x2-3x+2=0，则x=1；假命题

否命题：若x¹1，则x2-3x+2¹0；假命题

逆否命题：若x2-3x+2¹0，则x¹1.真命题

（3）原命题：若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等；

真命题

逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等；

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