9.2 向量运算（5个知识点+12类热点题型讲练+习题巩固）.docxVIP

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9．2向量运算

课程标准

学习目标

（1）能按照向量加、减法的研究路径，类比数的乘法，定义平面向量数乘运算及运算规则，说明其几何意义；能类比数的乘法提出并作图证明向量数乘运算的运算律；能从研究向量数乘运算的结果人手，从向量共线的概念出发，提出并解释两个向量共线的充要条件．

（2）能按照研究向量运算的一般路径，以物理中的功为背景，提出并解释平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积；能类比平面向量的线性运算提出并作图证明数量积运算的性质；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，解决向量的模、夹角等问题．

（3）能作图说明向量向向量的投影变换，并结合图形直观解释向量在向量方向上的投影向量，得出向量在向量方向上的投影向量的表达式．

（1）理解并掌握向量加法的概念．

（2）掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．

（3）掌握向量减法的几何意义．

（4）掌握向量数量积的定义及投影向量．

（5）会计算平面向量的数量积．

（6）会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．

知识点01向量加法的三角形法则与平行四边形法则

1、向量加法的概念及三角形法则

已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图

本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．

2、向量加法的平行四边形法则

已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

对于零向量与任一向量，我们规定．

知识点诠释：

两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．

3、向量求和的多边形法则的概念

已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．

特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有

4、向量加法的运算律

（1）交换律：；

（2）结合律：

5、向量的三角形不等式

由向量的三角形法则，可以得到

（1）当不共线时，；

（2）当同向且共线时，同向，则；

（3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．

【即学即练1】（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

??

知识点02向量的减法

1、向量的减法

（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．

相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．

（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．

知识点诠释：

（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．

（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．

（3）两个向量的差仍是一个向量．

2、向量减法的作图方法

（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．

（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．

【即学即练2】（2024·高一课时练习）化简：；；.

知识点03数乘向量

1、向量数乘的定义

实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：

（1）；

（2）①当时，的方向与的方向相同；

②当时．的方向与的方向相反；

③当时，．

2、向量数乘的几何意义

由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．

3、向量数乘的运算律

设为实数

结合律：；

分配律：，

【即学即练3】（2024·高二课时练习）已知，则.

知识点04向量共线的条件

1、向量共线的条件

（1）当向量时，与任一向量共线．

（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．

反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．

2、向量共线的判定定理

是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．

3、向量共线的性质定理

若向量与非零