（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测01 基本不等式（教师版）.docxVIP

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专题01基本不等式

知识讲解

基本不等式

，当且仅当时取等号

其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数

通常表达为：（积定和最小）

应用条件：“一正，二定，三相等”

基本不等式的推论1

（和定积最大）当且仅当时取等号

基本不等式的推论2

当且仅当时取等号

其他结论

①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab＞0)．

②eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．

③已知a，b，x，y为正实数，

若ax＋by＝1，则有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.

若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.

注意1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

注意2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

注意3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．

考点一、直接用基本不等式求最值

【例1】已知实数，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】运用基本不等式求和的最小值即可.

【详解】∵，，，∴，当且仅当即时取等号.故答案为：.

【变式1】的最小值为______.

【答案】9

【分析】利用基本不等式解出最小值即可.

【详解】，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9

考点二、巧用“1”或常数关系求最值

【例2】若，，，则的最小值为______．

【答案】8

【分析】由已知条件变形，然后利用基本不等式求解.

【详解】若，，，则，当且仅当时取等号，则的最小值为8.故答案为：8.

【变式2】已知，且，则的最小值为______．

【答案】2

【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.

【详解】因为，所以，又，所以

则，

当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为.

故答案为：.

【变式3】若，且，则的最小值为（????）

A．9B．3C．1D．

【答案】C

【分析】由基本不等式得，进而结合已知条件得的最小值为.

【详解】解：因为，所以，因为

所以，即，

当且仅当，即时等号成立，所以，即的最小值为.故选：C

考点三、变形为分式的“分母”形式求最值

【例3】已知，则的最小值为（????）

A．8B．9C．10D．11

【答案】B

【分析】运用基本不等式的性质进行求解即可.

【详解】因为，所以由，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：B

【变式4】已知，则的最小值是（????）

A．6B．8C．10D．12

【答案】D

【分析】利用基本不等式性质求解即可.

【详解】因为，所以，所以，

当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为.故选：D

【变式5】已知实数，且，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】运用基本式中的“1”的活用，即可得出结果.

【详解】，，

，

当且仅当时，取等号.故答案为：.

考点四、两次应用基本不等式求最值

【例4】已知实数，满足，则当取得最小值时，的值为（????）

A．1B．C．2D．

【答案】D

【分析】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.

【详解】因为实数，满足，所以，当且仅当时，，所以，当且仅当且时，等号成立；

所以当且时，取得最小值4，此时解得，故选：D.

【变式6】若，，则的最小值为___________.

【答案】8

【分析】，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】因为，

所以，

当且仅当，即时等号成立，故答案为：8

考点五、条件等式变形求最值

【例5】若x，y满足，则（????）

A．B．C．D．

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，