（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测13 双曲线方程及其性质（教师版）.docxVIP

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第13讲双曲线方程及其性质

知识讲解

双曲线的定义

数学表达式：

双曲线的标准方程

焦点在轴上的标准方程焦点在轴上的标准方程

标准方程为：标准方程为：

双曲线中，，的基本关系

双曲线的几何性质

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

范围

顶点坐标

，

，

，

，

实轴

实轴长，实半轴长

虚轴

虚轴长，虚半轴长

焦点

，

，

焦距

焦距，半焦距

对称性

对称轴为坐标轴，对称中心为

渐近线方程

离心率

离心率对双曲线的影响

越大，双曲线开口越阔

越小，双曲线开口越窄

离心率与渐近线夹角的关系

通径：

（同椭圆）

通径长：，

半通径长：

双曲线的焦点到渐近线的距离为

考点一、双曲线的定义及其应用

【例1】－＝4表示的曲线方程为（????）

A．－＝1(x≤－2)B．－＝1(x≥2)

C．－＝1(y≤－2)D．－＝1(y≥2)

【答案】C

【分析】根据两点间距离的定义及双曲线定义，可判断双曲线的长轴长与焦距，进而求得b，得双曲线方程；结合方程的意义，即可判断出y的取值范围．

【详解】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.根据双曲线定义可知，所以??

由焦点在y轴上，所以，且到点的距离比较大，所以即曲线方程为故选：C.

【变式1】已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据切线长相等的关系求得，利用双曲线定义求解.

【详解】如图，，，，所以.根据双曲线定义，

所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），方程为.

故选:C.

【变式2】已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为.

【答案】

【分析】根据动圆同时与圆及圆外切，即可得到几何关系，再结合双曲线的定义可得动点的轨迹方程.

【详解】由题，设动圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为,

当动圆与圆，圆外切时,,,所以,

因为圆心,，即，又根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的上支，其中，，所以,则动圆圆心的轨迹方程是；

故答案为：

考点二、双曲线的标准方程

【例2】双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（????）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.

【详解】如图，

??

因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.

设,则，所以，所以.因为,所以，

所以，所以，所以，因为，

所以，所以，解得，

所以双曲线的方程为故选：D

【变式3】已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，

不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：C.

【变式4】（多选）已知曲线是顶点分别为的双曲线，点（异于）在上，则（????）

A．

B．的焦点为

C．的渐近线可能互相垂直

D．当时，直线的斜率之积为1

【答案】ACD

【分析】根据双曲线方程的形式特征判断A、B；求出渐近线，利用渐近线互相垂直求解即可判断C；设点的坐标，求解斜率之积即可判断D.

【详解】若是双曲线，则，解得，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，其焦点为，，故选项A正确、选项B错误；的渐近线方程为，当时，的渐近线的斜率为，此时两条渐近线互相垂直，满足题意，故选项C正确；

当时，，其顶点坐标分别为，，设，则，故选项D正确.故选：ACD.

考点三、双曲线的几何性质

【例3】双曲线的右焦点到直线的距离为．

【答案】

【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.故答案为：

【变式5】已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（????）

A．2B．