（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测14 抛物线方程及其性质（教师版）.docxVIP

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第14讲抛物线方程及其性质

知识讲解

抛物线的定义

平面上一动点到定点的距离与到定直线：的点的轨迹叫做抛物线

抛物线的图形

数学表达式

标准方程的推导

设，由定义可知：，等式两边同时平方得：

抛物线的标准方程及其几何性质

焦点位置

轴正半轴

轴负半轴

轴正半轴

轴负半轴

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

通径

通径长：，半通径长：

焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）

焦点弦的性质

考点一、抛物线的定义

【例1】已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（?????）

A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线

【答案】C

【分析】由抛物线的定义求解即可.

【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.故选：C

【变式1】设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程．

【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，

又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，

所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A.

【变式2】复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（????）．

A．若，则点在圆上

B．若，则点在椭圆上

C．若，则点在双曲线上

D．若，则点在抛物线上

【答案】D

【分析】、分别表示点与、之间的距离，记，，由复数模的几何意义和圆锥曲线的定义逐一判断可得答案.

【详解】表示点与之间的距离，表示点与之间的距离，记，，对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误；或由，整理得，所以点在，故A错误；

对于B，由得，这不符合椭圆定义，故B错误；

对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；

对于D，若，则，整理得，为抛物线，故D正确.故选：D.

考点二、抛物线的标准方程

【例2】若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】利用抛物线定义即可求得p，然后可得方程.

【详解】由抛物线定义可得：，解得，所以抛物线的标准方程为.故选：C

??

【变式3】（多选）设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（????）

A．B．C．D．

【答案】BC

【分析】利用抛物线的定义、以及几何性质求解.

【详解】设，因为，所以，因为，所以，

即，所以，所以，解得，

所以，解得或，所以抛物线的方程为或．故选:BC.

考点三、抛物线的几何性质

【例3】已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（????）

A．2B．C．D．4

【答案】D

【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案.

【详解】由抛物线定义可知，因为，所以为等边三角形，故，，所以，其中准线l与轴交点为，则，故，所以.

????

故选：D

【变式5】已知抛物线：的焦点为，点为上一点，为靠近点的三等分点，若，则点的纵坐标为（????）

A．2B．4C．6D．8

【答案】C

【分析】过点分别作准线的垂线，根据题意得到，求得,进而求得点的纵坐标.

【详解】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，如图所示，设准线与轴的交点为，

因为为靠近点的三等分点，可得，又因为，可得,

又由抛物线的准线方程为，可得点的纵坐标为，即点点的纵坐标为.故选：C.

??

【变式6】已知抛物线，直线与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若，则（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义以及正弦定理得出结果.

【详解】如图，抛物线C的准线，直线n与x轴交于点，过点M作准线n的垂线，垂足为Q，由抛物线的性质可得，所以，

又，所以，故，即．

??

故选：C.

考点四、抛物线中的最值问题

【例4】已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（????）

A．5B．6C．7D．8

【答案】C

【分析】利用抛物线的定义求解即可.

【详解