2025年北师版七年级数学寒假预习 第03讲 乘法公式（4个知识点+5大考点举一反三+过关测试）.docxVIP

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第03讲乘法公式

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．掌握平方差和完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；

2．学会运用平方差和完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3.能用平方差和完全平方公式的逆运算解决问题。

知识点1：平方差公式

平方差公式：

语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

知识点2：平方差公式的特征

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

①位置变化，?x?y???y?x??x2?y2

②符号变化，??x?y???x?y????x?2?y2?x2?y2

③指数变化，?x2?y2??x2?y2??x4?y4

④系数变化，?2a?b??2a?b??4a2?b2

⑤换式变化，?xy??z?m???xy??z?m????xy?2??z?m?2?x2y2??z?m??z?m??x2y2??z2?zm?zm?m2??x2y2?z2?2zm?m2

⑥增项变化，?x?y?z??x?y?z???x?y?2?z2??x?y??x?y??z2?x2?xy?xy?y2?z2?x2?2xy?y2?z2

知识点3：完全平方公式

完全平方公式：

两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍

注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

知识点4：拓展、补充公式

；；

；.

考点一：平方差公式运算

例1.利用乘法公式计算下列各题：

(1)2x+y2x?y；(2)2

(3)x+3x?3x2+9；

【变式1-1】计算?1+3a?1?3a的结果是（???

A．3a2?1 B．?6a2?1

【变式1-2】计算10012?1004×996=（

A．?2017 B．2019 C．?2019 D．2017

【变式1-3】运用平方差公式计算．

3a+b3a?b(2)

12a?b?

(5)2x?3y

考点二：平方差公式下的几何背景

例2.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)上述操作能验证的等式是______________．

A．a

B．a

C．a

(2)应用所得的公式计算：20252

(3)应用所得的公式计算：1?1

【变式2-1】【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用含a,b的等式表示）；

【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：

①已知m2=16+4n2，m+2n=4，则

②计算：20232

【拓展】（3）计算：502

【变式2-2】实践操作：从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）

A．a2?2ab+

C．a2?

启发应用：请结合（1）选出的等式，利用其结论完成下列各题：

（2）计算：1?

（3）计算101

【变式2-3】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形．

(1)设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1

(2)应用公式计算：

①已知9x2?14

②2024×2026?2025

考点三：完全平方公式的有关运算

例3.计算：

(1)1+4a2；(2)?5+3y2；(3)

(4)?2x?132；(5)2a+12?4a

【变式3-1】计算：

(1)?5a+4b2；(2)2a?

(3)23a?12b

【变式3-2】计算：2x?3

【变式3-3】已知a+b2=9，a?b2=25，求

考点四：通过对完全平方公式变形求值

例4.已知a+b=4，ab=?5，求：

(1)a2

(2)a?b2

【变式4-1】已知(a?b)2=25，

(1)a2

(2