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第四章基本内容

数学基础Rn中的中值定理与Taylor定理矩阵的负定和半负定性数学和经济学上的应用凹（或凸）函数拟凹（拟凸）函数优化理论二充分阶条件1

数学基础几种空间Rn中的极限与点集矩阵的负定和半负定性2

数学基础—几种空间线性空间（向量空间）任给一个非空集合V，在V中定义一个加法和一个纯量乘法运算，满足?x,y?V有x+y?V；?x?V，??R有?x?V；且有(L-1)结合律x+(y+z)=(x+y)+z；(L-2)交换律x+y=y+x；(L-3)一个称作0的元素使得x+0=0+x=x；(L-4)?x?V，存在一个元素?x使x+(?x)=0;(L-5)结合律?(?x)=(??)x;(L-6)分配律?(x+y)=?x+?y;(L-7)分配律(?+?)x=?x+?x;(L-8)1x=x；这里?,??R，x,y,z?V．则称V是（实）线性空间或向量空间，V中的元素称作向量．3

数学基础—几种空间例4.1.1Rn={(x1,x2,?,xn)|xi?R,i=1,2,?,n}．?x,y?Rn，??R，定义一个加法和一个纯量乘法运算如下：x+y=(x1+y1,?,xn+yn)，?x=(?x1,?,?xn)，则容易验证(L-1)?(L-8)成立．因此Rn是一个向量空间．4

数学基础—几种空间内积与内积空间设V是一个实向量空间，若?x,y?V有一个确定的实数（记作x?y）与它们对应，并满足下列条件：(I-1)x?y=y?x(I-2)(?x+?y)?z=?(x?z)+?(y?z)(I-3)x?x?0且x?x=0?x=0，这里x,y,z?V，??R．则x?y叫做向量x与y的内积，定义了内积的向量空间V称作内积空间．例4.1.2设Rn是一个实向量空间，?x=(x1,x2,?,xn),y=(y1,y2,?,yn)?Rn，定义易验证Rn满足(I-1)?(I-3)，故是一个内积空间，称作Euclidean空间5

数学基础—几种空间距离与度量空间设V??，d：V?V?R为一映射，若?x,y,z?V有（M-1）非负性：d(x,y)?0且d(x,y)=0?x=y（M-2）对称性：d(x,y)=d(y,x)（M-3）三角不等式：d(x,z)?d(x,y)+d(y,z)则称d为V的一个度量，偶对（V，d）称为度量空间，实数d(x，y)称两点x与y之间的距离．例4.1.3设Rn是一个实向量空间，?(x1,x2,?,xn),y=(y1,y2,?,yn)?Rn，定义则可验证映射d满足(M-1)?(M-3)，故(Rn，d)是一个度量空间．6

数学基础—几种空间范数与赋范线性空间设V是一个实线性空间，若V上的实值函数‖.‖：x?‖x‖满足：（N-1）非负性：‖x‖?0且‖x‖=0?x=0；（N-2）三角不等式：‖x+y‖?‖x‖+‖y‖；（N-3）‖?x‖?|?|‖x‖其中x,y?V，a?R，则‖.‖称为范数，‖x‖称为向量x的范数．（V，‖.‖）称为一个赋范线性空间．例4.1.4设Rn是一个实向量空间，?(x1,x2,?,xn)?Rn，定义则‖.‖满足(N-1)?(N-3)，因此（Rn，‖.‖）是一个赋范线性空间，‖.‖称作欧氏范数．7

数学基础—几种空间向量x?Rn的长度可计算为‖x‖向量x与y间的夹角可计算为：由例4.1.2?4.1.4知下面的关系式成立：8

Rn中的极限与点集Rn中的序列Rn中的序列：Rn中的序列可表示为｛xm｝，对每个m，xm=（x1m,x2m,?,xnm）?Rn．邻域：以x0为中心的邻域定义为几何意义：当n=2或3时，N?(x0)表示以x0为圆心以?为半径的圆或球的内部．收敛定义称序列｛xm｝收敛于x?Rn或以x为极限，若??0，存在正整数M?，使得当mM?时有9

Rn中的极限与点集收敛定理{xm}?Rn收敛?｛xim｝收敛，i=1，2，…，n．这里xm=（x1m,x2m,?,xnm）．=(x1,x2,?,xn)?i=1，2，…，n．定理若这里，m=1，2，…，+?．则10

Rn中的极限与点集Rn中的点集内点、内部与开集定义称x0为集合X的内点，若存在N?(x0)，使N?(x0)?X．X的内