2025年考研数学三(线性代数)模拟试卷20(题后含答案及解析) .pdfVIP

以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子》

考研数学三（线性代数）模拟试卷20(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A=，则A与B()．

A．合同且相似

B．相似但不合同

C．合同但不相似

D．既不相似又不合同

正确答案：C

解析：显然A，B都是实对称矩阵，由｜λE一A｜=0，得A的特征值为λ

1=1，λ2=2，λ3=9，由｜E一B｜=0，得B的特征值为λ1=1，λ2=λ3=3，因

为A，B惯性指数相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，选

C．知识模块：线性代数

2．设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X，有XTAX=0，则

()．

A．｜A｜=0

B．｜A｜＞0

C．｜A｜＜0

D．以上都不对

正确答案：A

解析：设二次型，则f=XTAX=λ1=0，同理可得λ2=λ3=0，由于A是实对

称矩阵，所以r(A)=0，从而A=O，选A．知识模块：线性代数

填空题

3．f(x1，x2，x3，x4)=XTAX的正惯性指数是2，且A2一2A=O，该二次

型的规范形为________．

正确答案：y12+y22

解析：A2一2A=O→r(A)+r(2E一A)=4→A可以对角化，λ1=2，λ2=0，又

二次型的正惯性指数为2，所以λ1=2，λ2=0分别都是二重，所以该二次型的

规范形为y12+y22．知识模块：线性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4．设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同

的特征值，证明：(1)AB=BA；(2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP

臣心一片磁针石，不指南方不肯休。——文天祥

同时为对角矩阵．

正确答案：(1)由AB=A—B得A—B—AB+E=E，(E一B)(E+A)=E，即

E—B与E+A互为逆矩阵，于是(E—B)(E+A)=E=(E+A)(E—B)，故

AB=BA．(2)因为A有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3，所以A可以对角

化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则有A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ

1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，BA(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ

1，λ2，λ3)，AB(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，

于是有ABξi=λiBξi，i=1，2，3．若Bξi≠0，则Bi是A的属

于特征值λi的特征向量，又λi为单根，所以有Bξi=μiξi；若Bξi=0，

则ξi是B的属于特征值0的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且

ξi是B的特征向量，因此，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P-1AP，P-1卯同为对角

阵．涉及知识点：线性代数