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概率统计专题
独立事件与互斥事件
例1．〔四川理18〕本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元〔缺乏1小时的局部按1小时计算〕。甲乙两人独立来该租车点那么车骑游,各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
〔Ⅰ〕求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
〔Ⅱ〕求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
解：〔1〕所付费用相同即为元。设付0元为，付2元为，付4元为，那么所付费用相同的概率为
〔2〕设甲，乙两个所付的费用之和为，可为
分布列
练习：甲和乙参加智力答题活动，活动规那么：①答题过程中，假设答对那么继续答题；假设答错那么停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分。甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为．
〔1〕求甲恰好得30分的概率；〔2〕设乙的得分为，求的分布列和数学期望；
〔3〕求甲恰好比乙多30分的概率.
解：1.〔1〕甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为，
〔2〕的取值为0，10，30，60.
；，
；
的概率分布如下表：
0
10
30
60
〔3〕设甲恰好比乙多30分为事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B1,
甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B2，那么A=为互斥事件.
.
所以，甲恰好比乙多30分的概率为
二、超几何分布
例2．〔2010广东理数〕
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量〔单位：克〕重量的分组区间为〔490,，〔495,，……〔510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．
〔1〕根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
〔2〕在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
〔3〕从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．
三、N次独立重复试验与二项分布
例3．〔10年浙江〕如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．
某商家按上述投球方式进行促销活动，假设投入的小球落到A，B，C，
那么分别设为l，2，3等奖．
〔I〕获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变
量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；
(II)假设有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等
奖或2等奖的人次，求及．
(Ⅰ)解：由题意得ξ的分布列为
ξ
50％
70％
90％
p
那么Εξ=×50％+×70％+90％=.
〔Ⅱ〕解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=.
由题意得η～〔3，〕
那么P〔η=2〕=()2(1-)=.
练习：〔2009北京卷理〕某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.
〔Ⅰ〕求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
〔Ⅱ〕求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.
【解析】此题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等根底知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.
〔Ⅰ〕设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.
〔Ⅱ〕由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8〔单位：min〕.
事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”〔0，1，2，3，4〕，
∴，
∴即的分布列是
0
2
4
6
8
∴的期望是.
局部排列与全排问题
例4．某商场“十.一”期间举行有奖促销活动,顾客只要在商店购物满８00元就能得到一次摸奖时机.摸奖规那么是:在盒子内预先放有5个相同的球,其中一个球标号是０，两个球标号都是４０，还有两个球没有标号。顾客依次从盒子里摸球，每次摸一个球〔不放回〕，假设累计摸到两个没有标号的球就停止摸球，否那么将盒子内球摸完才停止.奖金数为摸出球的标号之和〔单位：元〕，某顾客得到一次摸奖时机。
〔Ⅰ〕求该顾客摸三次球被停止的概率；
〔Ⅱ〕设〔元〕为该顾客摸球停止时所得的奖金数，求的分布列及数学期望.
解〔Ⅰ〕记“顾客摸球三次被停止”为事件A，那么
〔Ⅱ〕
，
0
40
80
练习：假设盒中装有
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