2025年高中数学最值问题大盘点和例题及解析 .pdfVIP

操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰

最值问题大盘点

(作者赵先举)

最值问题一直是高中数学的重要内容之一,也是高考的热点问题.它综合性强,且在生产

与生活中有这广泛的应用.因此,求最值问题是我们在高中阶段必须掌握的内容.下面结合具

体例子来说明,不同条件下求最值的方法.

一、二次函数求最值问题

二次函数是我们最熟悉的函数之一,求二次函数的最值一般需要考虑对称轴,而对于一

些含参数的二次函数在限定区间上的最值还要进行分类讨论.这也是主要的考查方式.

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例1.设函数f(x)ax2(2a1)x1在区间[,2]上的最大值为3,求实数a的值.

2

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[解析]:令f(2)3,即4a4a213,解得a,此时f(x)x21,可知,a适

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39a327

合题意;令f()3,即3a13,可得a,此时对称轴为x,开口向下,

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12a14a4a2(2a1)(12a)1

适合题意;令f()3,即13,可得a,此时对

2a4a2a2

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称轴为x2[,2],不适合题意;a0时显然也不适合题意.故a或.

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[点评]:解决二次函数在某一区间上的最值,应注意二次函数图象的开口方向,对称轴的位置以

及二次函数在此区间上的但调性等.对于含参数求最值的讨论,其主要依据就是对称轴与区间

的关系,一般可以分为三种情况:对称轴在所给区间的左边,在区间内及在区间的右边.

二、抽象函数的最值问题

抽象函数由于没有具体的解析式,一般都是在单调性与奇偶性等基础进行求最值.有时

候需要先证明这些性质.

f(x)xyR

例2.已知是定义在R上的奇函数,且满足如下两个条件:①对于任意的,都有

f(xy)f(x)f(y);②当x0时,f(x)0,且f(1)